I.Schur: Über Gruppen periodischer linearer Substitutionen. 625 



Der Beweis des Satzes III ergibt sich nun, indem man die von 

 Hrn. Frobenius für den Fall einer endlichen Gruppe durchgeführte Be- 

 trachtung fast wörtlich wiederholt. Wir können wegen II* annehmen, 

 daß die Substitutionen der zu betrachtenden periodischen Substitu- 

 tionsgruppe ® sämtlich unitär sind. Je zwei Substitutionen A , B von 

 ®, die den Bedingungen (5.) genügen, sind dann, da sie in einer end- 

 lichen Cri'uppe, nämlich in der durch sie erzeugten Gruppe, enthalten 

 sind, untereinander vertauschbar. Diejenigen Elemente A von C»^, 

 für die 



(6.) ^(E-A)<1- 



ist, erzeugen daher eine AßELSche Untergruppe 51 von C§. Da ferner 

 fiir jedes Element G von ® aus (6.) auch 



iT{E-G-'AG) = ^[G-'(E-A)G] = ^iE-A)<^ 



folgt, so ist 51 eine invariante Untergruppe von ®. Zwei Elemente 

 R und iS' von ©, für welche die Komplexe 51 Ä und 51 «S voneinander 



verschieden sind, müssen der Bedingung ^{B- S)2=^ genügen. Denn 



andernfalls würde sich 



iy{E-SR-') =r iy[{R-S)R-'] = ^(R-S)<^ 



ergeben, d. h. Sli~' müßte in 51 enthalten sein: hieraus würde aber 

 5(7? =: 5liS folgen. Die Anzahl der unitären Substitutionen 7?, , B., ■■■ 

 in 71 Variabein, für die 



wird, ist aber endlich und zwar kleiner als A,, = (V'S?« + l)-"". Daher 

 ist der Index p der Untergruppe 51 von ® endlich und kleiner als A„. 

 Wird nun 



® = 51 /f, + ?l /?.+ ■• + 91 R, . 



so erzeugen B^, R.^, ■■■ B^, eine endliche Untergruppe § "^'on ®. Die 

 Elemente dieser endlichen Gruppe erzeugen dann zusammen mit den 

 Elementen von 51 die ganze Gruppe ®. 



§4- 



Nimmt man die endlichen Substitutionsgruppen als bekannt au, 

 so läßt sich auf Grund des Satzes III ein Verfahren angeben, auch 

 alle miendlichen periodischen Substitutionsgruppen aufzustellen. 



Es sei nämlich Ä eine beliebige endliche Gruppe linearer homo- 

 gener Substitutionen in n Variabein, S irgendeine invariante Abel- 

 sche Untergruppe von ^; hierbei kann 5? auch die Ordnung 1 be- 

 sitzen, d. h. nur die identische Substitution E enthalten. Wir können 



