626 Gesamintsitzung vom I.Juni 1911. 



die Gruppe Ä durch eine mit ihr ähnliche Gruppe .^' = P^P'^ er- 

 setzen, in der jedes Element B der Untergruppe 58' = P'^P~^ die 

 Normalform 



(7.) .(,■; = ß,A-, , iC2 = ßiX-i, ••■, x'„ = ß,.x„ 



besitzt. Man wähle nun irgendwelche Substitutionen R , S , ■ ■ , von 

 denen jede die Form 



(8.) X[ = piX,, X'i = PiX2, •••, X'„ ^ pnX„ 



hat, wo £,,p2, •••,:„ beliebige Einheitswurzeln sind, die nur der Be- 

 dingung unterliegen, daß stets p^ = p^ sein soll, wenn in allen Sub- 

 stitutionen B von SS die Zahl /8^ gleich /3, ist. Es soll nun gezeigt 

 werden : 



1 . Die durch die Substitutionen R, S , ■■■ und die Elemente von 

 ^' erzeugte Gruppe ®' ist eine periodische Substitutionsgruppe. 



2. Jede periodische Substitutionsgruppe @ ist einer Gruppe ®' 

 ähnlich, die in der geschilderten Weise aus einer endlichen Gruppe ^ 

 hervorgeht. 



Man betrachte nämlich die durch die Substitutionen R , S , ■■ ■ 

 und die Elemente von 5?' erzeugte AßELSche Gruppe ß. Diese Gruppe 

 ist vollständig zerfallend und besitzt, wegen der über die Substitutionen 

 R , S , ■■ ■ gemachten Voraussetzung, genau ebenso viele voneinander 

 verschiedene irreduzible Bestandteile wie die Gruppe 33'. In einer 

 vollständig reduziblen AßELschen Gruppe ist aber bekanntlich die 

 Anzahl der linear unabhängigen Substitutionen gleich der Anzahl der 

 voneinander verschiedenen irreduziblen Bestandteile der Gruppe. Daher 

 ist jede der Substitutionen R, S, ■•• von den Elementen der Gruppe 33' 

 linear abhängig. Da ferner 33' eine invariante Untergruppe von ^ sein 

 soll, so sind für jedes Element K von ^ auch die Substitutionen 



(9.) K-'RK, Ä'-'SA', 



als lineare homogene Verbindungen der Elemente von 33' darstellbar; 

 daher besitzen sie sämtlich die Normalform (8.). Läßt man nun in 

 (9.) das Element K alle Substitutionen der Gruppe St durchlaufen, 

 so erzeugen die so entstehenden Substitutionen, da sie periodisch 

 und untereinander vertauschbar sind, eine periodische Substitutions- 

 gruppe 55, die durch jedes Element von ^ in sich transformiert wird. 

 Beachtet man, daß jedes Element Q der zu betrachtenden Gruppe i^V 

 die Form DK hat, wo D in der Gruppe T) und A' in der Gruppe Ä 

 enthalten ist, so ergibt sich unmittelbar, daß (iV eine periodische 

 Substitutionsgruppe ist. 



Es sei nun (^ eine beliebige periodische Substitutionsgruppe, für 

 welche die Untergruppen 21 und § dieselbe Bedeutung haben mögen 



