654 Sitzimg der physikaliscli-iiiatliematischen Classe vom 15. .liiiil 1911. 



Über die unzerlegbaren diskreten Bewegungs- 

 gruppen. 



Von G. Frobenius. 



Die Bewegungsgrnppen des /i-dimensionalen euklidischen Raumes, ins- 

 besondere die mit einem endlichen Fundamentalbereich, hat Hr. L. Bie- 

 BEKBACH in einer Mitteilung in den Göttinger Nachrichten 1910 bestimmt. 

 Den algebraischen Teil der Untersuchung hat er in einer im 70. Bande 

 der Mathematischen Annalen erschienenen x\bhandlung vollständig aus- 

 geführt. Diese Entwicklungen lassen sich in ähnlicher Art vereinfachen, 

 wie ich es hier vor kurzem von seinem Beweise des JoRDANSchen Satzes 

 gezeigt habe, der mit jenen Untersuchungen im engsten Zusammenhang 

 steht. Ich werde meine Arbeit über den von L. Bieberbach gefundenen 

 Beweis eines Satzes von C. Jordan und ihre Fortsetzung Über unitäre Ma- 

 trizen mit J., die beiden Arbeiten des Hrn. Bieberbach mit G. und H. 

 zitieren. 



Durch eine lange Kette höchst scharfsinniger Überlegungen, die 

 sich eng an die Betrachtungen anschließen, mittels deren Hr. Schoen- 

 FLiES die Einteilung der Kristalle für n = 3 begründet hat, gelangt Hr. 

 Bieberbach zu dem wichtigen Ei-gebnis, daß es bei gegebenem n nur eine 

 endliche Anzahl von Bewegungsgruppen mit endlichem Fundamental- 

 bereich, also (nach G. XV) von unzerlegbaren diskreten Bewegungs- 

 gruppen, gibt. Dabei sind zwei Gruppen nicht als verschieden betrachtet, 

 wenn sie (einstufig) isomorph sind (G. S. 2 und 9). Da es aber in der 

 Kristalltlieorie nicht auf die Struktur der abstrakten Gruppen, sondei-n 

 avif ihre Darstellung durch lineare Substitutionen von « = 3 Variabehi 

 ankommt, so betrachte ich hier zwei Gruppen nur dann als äquivalent, 

 wenn sie ähnlich sind, und ich beweise den Satz des Hrn. Bieberbach für 

 diese engere Definition der Gleichheit. 



Da nun die rotativen Teile der Bewegungen einer Gruppe doch 

 jeder beliebigen Transformation unterworfen werden können, so ist 

 es vorzuziehen, gleich von vornherein eine Bewegungsgruppe als eine 

 Gruppe von Substitutionen zu definieren, deren rotative Teile irgendeine 

 positive Hr-RMiTESc/ie Form ungeändert lassen. Gerade in dem letzten, rein 



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