Krobi^niüs: Ül)er die iin/.eilcpbaren disneten Bewefiiingsgrupiien. 655 



aritlimetisclien Abschnitt der Entwicklung, deren Fortgang Hr. Bieber- 

 BAcn (G. S. 6—8) vollständig angedeutet, aber noch nicht ausgeführt 

 hat, erweist sich diese Definition als besonders vorteilhaft. Nur für den 

 Teil der Untersuchung, worin die Abschätzung der Größe der Koeffi- 

 zienten der einzelnen Substitutionen eine Rolle spielt, ist es bequem, 

 jene HEKMixESche Form als die Hauptform vorauszusetzen. 



§ I- 

 Setzt man zwei nichthomogene lineare Substitutionen 



(i.) ^« = p. + ^a,>.ijx 



>. 

 und 



y>. — q^ + ^ bx. ■?„ 



zusammen, wo sich jeder Index von 1 bis n bewegt, so erliält man 

 eine Substitution 



x~ ^ /•« + > c„„ z^ , 



deren Koeffizienten man auf folgende Art durch Komposition von 

 Matrizen finden kann. Die aus den «^ Koeffizienten o^, gebildete Ma- 

 trix bezeichne ich mit A, die aus den n Größen j?„ gebildete Spalte 

 (oder einspaltige Matrix) mit p, und die Matrix (?2+l)ten Grades 



flu ■ ■ ■ O-mfx 

 ...... ^IA,X 



O-nl ■ ■ ■ (In,, P„ \ 1/ 



.. 1 

 mit (A,p). Dann ist (G. S. 327) 



(2.) ((•,r) = (A,p)(B,q), C = AB, r = Aq + p , 



und insbesondere 



{A,p)-' = (A-\-A-'p). 



Eine aus solchen Substitutionen (A, p) , (B, q) , {C, ?') , ■■■ gebil- 

 dete Gruppe Ö nenne ich eine Bewegungsyruppe der Dimension n, wenn 

 es eine positive HERMixESche Form H gibt, die von den homogenen 

 Substitutionen A , B , C , ■■■ in sich transformiert wird, A' H A = H. 

 Jedes Element {A, p) der Gruppe <ö nenne ich eine Bewegung, A ihren 

 rotativen, p ihren translativen Teil. Ist E die Hauptmatrix, so nenne 

 ich (£", t) oder kurz ( eine Translation. Da 



(3.) {A,p)(E,i) = {E,At)(Ä,p), (E,s){E.t) = (E,s + t) 



