65() Sitzung der pliysiUnliscii-matheinatischen Classe vom 15. .liini 1911. 



ist, SO bilden die Translationen von .^^ eine invariante, kommutative 

 Untergruppe %, und wenn t eine Translation ist, so ist auch At eine 

 solche. Nach (2.) und 



(4.) {A,p)iA,cjy^ = (E,p^g), (E,p)(A,q) = {A,p + <j) 



bilden die rotativen Teile einer Bewegungsgruppe <ö eine mit ^ 

 homomorphe, mit ^:% isomorphe Gruppe sy'. Die Bewegung (A,^) = 

 {E, p) (A, 0) läßt sich aus der Translation/) und der Rotation .4 zu- 

 sammensetzen. Diese brauchen aber nicht einzeln der Gruppe i3 an- 

 zugehören. 



Ist U irgendeine Matrix «ten Grades von nicht verschwindender 

 Determinante, so nenne ich die Bewegungsgruppe 



(5-) {(\s)-'^{i\s) = ® 



der Gruppe ."ö äquionlpnt. Die Substitutionen der zugeordneten Grippe ® ' 

 führen die Form UHU in sich über. Durch die Transforinailon (U , s) 

 geht JÖ in ® und die Bewegung {A , p) in 



(IJ , s)-< {A , p) {L\ s) = {U-'AU,U''(As-s+p)) 



über. Insbesondere ist 



(6.) l-'{A,p)U= {V-'AU,U''p). {E.-s)(A,p)(E.s) = (A,p - {E- A)s) . 



Links ist, wie stets in .solclien Zusammensetzungen geschehen soll, 

 U für {U,0) geschrieben. 



Man kann U so wälilen, daß U' HU = E wird. Ist dies der Fall, 

 so sind A , B ,C ■■ xmltäre Substitutionen. Für den algebraischen (aber 

 nicht für den arithmetischen) Teil der Untersuchung erweist sich die 

 Annahme H = E als besonders bequem, und wird daher zunächst 

 immer gemacht werden. Die abgeleiteten Sätze gelten aber alle un- 

 abhängig von dieser Voraussetzung. Ist in der Gleichung (5.) U eine 

 unitäre Matrix, so nenne ich ® und iö kongruent. 



Ich setze voraus, daß die Gruppe § unendlich und diskret ist, 

 daß es also darin nicht zu jeder gegebenen Größe £ eine von [E , 0) 

 verschiedene Substitution (A ,p) gibt, in der ^(E-A) und S-(p)<£ ist. 

 Mit '^(p) wird die Summe der Normen der n'^ Koeffizienten Pi, p.^, ■ ■ p„ 

 bezeichnet. 



Dadurch ist ausgeschlossen, daß die Substitutionen von § homo- 

 gen sind, daß also darin die translativen Teile p , q,r- sämtlich ver- 

 scliwinden. Denn da die Koei'fizienten der imitären Matrizen A , B , C ■■ 

 alle absolut ^ 1 sind, so muß es in unendlich vielen Systemen von 

 je n' Koeffizienten ehie Häufungsstelle geben (G. S. 327). In deren 



