Frobenihs: Über die unzerleRbareii (liscrett'n Bewi'ffungsgrnppen. 65/ 



Umgebung gibt es zu jedem gegebenen e zwei verschiedene Matrizen 

 P und Q von ö, wofür :>(P-Q)<£ ist. Da nun (J(6.)) 



(7-) ^(P-Q) = tr{E-PQ-^) 



ist, so ist R = PQ'^ von E verscliieden und ^(E-R)<s . 



§2. 



I. In einer diskreten Bewegungsgruppe ist Jede Matrix^ worin die 

 Differenz von je zwei Wurzeln absolut kleiner als 1 istj mit jeder andern 

 Matrix derselben Art vertauschbar. 



Die n + 1 Wurzeln der Matrix (Ä,p) sind die Zahl 1 und die n 

 auf dem Einheitskreise liegenden Wurzeln a, , a^, ■ ■ a„ der unitären 

 Matrix^. Demnach werden die Differenzen If?, -o^l und |l-'5'^| alle 

 < /c < 1 vorausgesetzt. Diese Bedingungen sind sämtlich erfüllt, wenn 

 2^(E-A) < 1 ist (J. S. 245). 



Ist U eine unitäre Matrix, und ist P eine Matrix von n Zeilen 

 und einer beliebigen Anzahl von Spalten, so ist ^(UP) = S-(P) 

 (J. (5.)). Ist A eine unitäre Form, so kann man die unitäre Sub- 

 stitution U so bestimmen, daß 



die Normalform wird. Ist t eine Spalte, so ist auch Ut = s eine 

 Spalte, deren Koeffizienten s, , s^, ■■■ .s, seien. Dann ist die Spannung 



^{{E-Ä)t) = ^{U{E-A)U-'s) = ^{{E-UAU-')s) =2 l(l-«'^)*>.|' 



und 



2 i^'^i' = >(*) = >(')' 



und mithin, wenn | 1 — a^^l ^ Z; ist, 



tT{iE-A)t) ^ k'p{t). 

 Allgemein ist, wenn P und Q zwei beliebige Matrizen sind, 



und 



und mithin 



(1.) ^(PQ) S^(P)^(Q). 



