Frobenius: Über die mizerle;;l)aren discreten Bcweü;iinf;sji;iiippen. n59 



ist, .SO l)leil)t dabei S-(p) = ^{Up) ungeämlert. Dann stellt w = die 

 n Gleicliuui^en 



(1 -«,)-' ((I - 6, )p.-(l-a,)9,) = 



dar. Nun kann in;in aber in dieser ganzen Entwicklung A und B ver- 

 tausclien Für ein hinlänglich großes v ist also auch 



{\ -(>>)'-' {(l-b^)}h-(l-a>.)q^) = 0, 

 mithin 



r>. = (1 -b,.)p>- (1 -a,,)q^ = 

 oder symbolisch 



r = {Aq+p)-(Bp + q) — 0. 



Nach (2.) §1 ist daher {A,p) mit (B,q) vertauschbar. 



§3- 

 Der Komplex aller Elemente der Gruppe §, welche die Bedingung 

 des Satzes I erfüllen, sei 



© = (4,p) + (ß,9) + (C\r)+ .... 



Insbesondere gehören dazu alle etwa in i3 enthaltenen Translationen 



{E, t). Da 



{L , ii) (A , p) {L , u)-' = (LAL-',v) 



ist und LAL~' dieselben Wurzeln wie A hat, so ist (S ein in @ invarianter 

 Komplex. Je zwei der Bewegungen von © sind miteinander vertausch- 

 bar, also auch je zwei der Formen A , B , C , ■ ■■ . Man kann daher durch 

 eine unitäre Sultstitution die linear unabhängigen unter ihnen und folg- 

 lich alle gleichzeitig in ihre Normalformen transformieren. Für je zwei 

 Bewegungen von S ist Aq + p ^ Bp + q , also {l-lj^)p,, = (l-'/x)?>. , 

 und mithin 



Px-q>.-r>.: ■■■ = \ -a, : \ -b^: l -c, : ■■■ . 



Sind nun für einen Index a die Difi'erenzen auf der rechten Seite 

 nicht alle 0, so ist 



px = (l-a>.)s,, q^ = {i-b,)s>,, /-x = (1 -C;,)sx, •■■ . 

 In der Substitution (^4 , p) lautet daher die A te Gleichung 

 ■r> = «>.yi + (1 - ",.)s,. , iCx - .»x = «x (yx - «x) • 



Durch eine Translation s des Koordinatensystems kann man folglich 

 bewirken, daß p, , q, , r, , ■ ■■ alle verschwinden. Dies möge eintreten 



