660 Sitzung der pliysikaliscli-niatheiiiatisclien Classe vom 15. .Tiini 1911. 



WO jetzt Pi eine Spalte von n-k Koeffizienten bezeichnet. Lst v. einer 

 der Indizes \ ,2 , •■■ k, so sind die Differenzen \. - a^, \ - h^, \ - c^, ■ ■ 

 nicht alle Null. Mithin kann man unter den Bewegungen von © eine 

 endliche Anzahl so auswählen, daß in keiner der k linearen Formen 



der Variabein ^ , >) , <^ , ... alle Koeffizienten verschwinden. Daher kann 

 auch das Produkt dieser k Formen, also die Determinante der Matrix 

 k ten Grades 



(2.) ? (E, - ^,) + Vi [E, - 5,) + C (E, - C) +■■■ 



nicht identisch verschwinden. 



Ist die Grruppe i^ reell, so kann man die komplexe Normalform 

 der Bewegungen von ^S zunächst dazu benutzen, aus .ihnen, wie oben, 

 eine endliche Anzahl A, B , C , ■■■ auszuwählen. Dann hat die Matrix 



^A^Y\B+'C.C-{---- die Wurzel ^a^ -\- Yjh^ + Qc^ -\- ■ ■■ , also wenn 

 £ , »1 , C , ■ • • reelle Variable sind, und ai,l\, c^ ■■■ nicht alle reell sind, 

 auch die konjugiert komplexe Wurzel, etwa ^o^ + vib^ -\- 'C,c^ -\- ■ ■■ . 

 Nun ist 



/e"f <1 \ /l i\ /l i\ /cos 9 — sin9\ 



\0 e-'*) \i 1/ \i 1/ \siu 9 cos 9/ ' 



Seien jetzt A^, B^, C^ , ■■■ die reellen orthogonalen reduzierten Formen, 

 die man durch diese Umformung erhält. Dann behalten sie die Eigen- 

 schaft, daß die Determinante der Matrix (2) nicht identisch verschwindet. 

 Ferner kann man die Substitution U so bestimmen, daß für jedes 

 Element von © gleichzeitig 



\ Ej \0 Ej' 



wird. Da aber die rechten Seiten ebenso wie A, B , C, ■■■ reelle ortho- 

 gonale Matrizen sind, so kann man dann auch eine reelle orthogonale 

 Substitution U finden, die diesen Gleichungen genügt. Die Bewegung 

 (A,p) von © geht durch die Substitution (U,0) in 



WO jetzt J9, eine Spalte von k Koeffizienten bedeutet. Aus der kom- 

 plexen Normalform schließen wir, daß es eine Spalte .Sj gibt, die gleich- 

 zeitig den Bedingungen 



{El - A,) *, = pi , {El - jB,) äi = 9, , (£■, - 6',) s, = r, , • • • 



genügt. Da die Koeffizienten dieser Gleichungen reell sind, so haben 

 sie auch eine reelle Lösung. Durch diese Translation s^ gehen (A, , jo,), 

 {B, ,q,),--- in {A, , 0) , (5, , 0) . ■ ■ • über. 



