Frobenius: Ulier die iinzerlcj^baren (liscreti'ii Bcnvef>iinn;.SE;riippeii. (idl 



Irgendeine Bewegung von !ö sei 



(L,u) = I io, 7.22 



so geschrieben, daß die ersten k Zeilen und Spalten von den folgen- 

 den n-k abgetrennt sind. Zu jeder Matrix {A,p) des invarianten 

 Komplexes © gibt es eine andere (B,q), so daß (L,u) (A,p) =■ 

 (B , q) (L , u) ist oder 



/Z„ i,2 M,\ /Jl \ IB, (I \ //>!, Zi2 



X21 ^22 «2 E2 Pal = " A\ 92 -^21 A2 



\n (I 1 / \o u 1 / \o u 1 / \o 

 Daher ist 



L,,{E,-A) = 0. (7^,-ß,)Z,2 = 0, {E,-B,)u,+ L,,p, = 0, 

 also auch 



L^,(i(E,-A,) + 7i{E,-B,) + ;:(E,-C\)+ ■■■) = 



und mithin i,, = <•. Ebenso ist Zu ^ 0, demnach (Ä',-!?, )?/, = 0, 

 und folglich ?/i = . Jede Bewegung von Ö hat demnach die Grestalt 



/L, 

 (3.) {L,ii) =0 L, u, 



\0 1 



Nun kann nicht k = )t. sein. Denn sonst würde in jeder Be- 

 wegung (L.u) der translative Teil u verschwinden. Ist k<.n aber 

 > , so wird eine Gruppe von Bewegungen zerlegbar genannt, wenn 

 in einer kongruenten Gruppe alle Bewegungen die Gestalt (3.) haben 

 (H. § 8). Soll also i3 unzerlegbar sein, so muß k =- sein, und folg- 

 lich ist in jeder Bewegung (1.) des Komplexes © der rotative Teil 

 A — E, also ist {A,p) = (E,p) eine Translation. Da umgekehrt <B 

 alle Translationen enthält, so ist ® = %. 



II. Jrfie Bncpgung einer unendlichen diskreten unzerlegbaren Bewe- 

 gungsgruppe, lüorin die Differenz von je zwei Wurzeln absolut kleiner als 

 1 />/, ist eine Translation. 



Ist also [L ,u) eine Bewegung einer solchen Gruppe, und ist L 

 von E verschieden, so ist '2^(E-L)^\. 



§4- 

 Sind P und Q zwei verschiedene Elemente von S>' , so ist 

 PQ"' = L von E verschieden, und mithin ist (J. (6.)) 



