(ifi2 Sitzunj; der pliysikiiliscli-niatliematischeii Classe vom 15. .Iiini 1911. 



Es gibt aber nur eine endliche Anzahl unitärer Matrizen, Aon denen 

 je zwei dieser Ungleichheit genügen. Diese Zahl liegt unterhalb einer 

 bestimmten, nur von n abhängigen Grenze (J. (14.)). Daher ist i3' eine 

 endliche Gruppe. Würde nun ^ keine Translation enthalten, so würde 

 jedem Elemente L von .s3' nur ein Element []j, u) von s3 entspreclien, 

 und folglich wäre aucli § eine endliche Gruppe. Daher muß jede 

 unzerlegbare, unendliche, diskrete Bewegungsgruppe Translationen ent- 

 halten. 



Die Anzahl der linear iniabhängigen Translationen von § kann 

 höchstens n sein. Ist sie gleich n-k>i), so kann man die Matrizen 

 von 5 durch eine unitäre Substitution gleichzeitig in 



iE, 



(I.) {E,p) =0 E, p, 



\0 1 



transformiert werden, wo die Spalte ^5 nur «- A: Koeffizienten hat. 

 Denn man kann eine unitäre Matrix U so bestimmen, daß jede ihrer 

 k ersten Zeilen m«i, w^2, • ««„ den Gleichungen 



^ P>. M.X = , '^ 9x IK-, = , V 7\ H,,. = , • • ■ 



>. K >. 



genügt, unter denen n-k unabhängig sind. (Vgl. z. B. Erhard Schmidt, 

 Dissertation § 3.) Dann ist 



l(E,p)l-^ ---. (E,Cp) 



und in Up verschwinden die ersten k Koeffizienten. 



Da 3; eine invariante Untergruppe von § ist, so ist 

 {L,u)(E.p) = (E.g){L.u), Lp = g , L,^p. = . 



also ist i,„ =^ , denn für p, kann man n - k linear unabhängige 

 Spalten setzen. Da L unitär ist, so muß, wenn i,2 = ist, auch 

 X2, = (• sein. Daher Lst 



/i, w, 



( t , m) = is «2 



\ 1 



Jedem der // verschiedenen Elemente L, M, N' , ■■■ von ß' ordne man 

 willkürlich ein Element 



(2.) (Z,«), (i/.f). (V,«'),-- 



von .s3 zu. Dann erhält man alle Elemente von .s3, indem man in 

 der Matrix 



/>, >i, 

 {E,p) (L,ii) = ( () ij wj +p, 

 1 



