Frübf.nus: Über die unzerlegbaren discreten Kewegungsgruppen. ()().■) 



fiir {L,u) der Reihe nach jene h ausgewählten Bewegungen und für 

 (E, p) alle Translationen setzt. In der Substitution (i.) § i, die 

 dieser Matrix entspricht, hängen die k Variabein .r, , ■■• x^ nur von 

 y, , •■■ i/i ab. Die Aon den Koeffizienten dieses Teils der Substitutionen 

 gebildeten Matrizeii 



I Li Ml \ 



bilden eine endliche Gruppe. Durch eine Verlegung des Koordinaten- 

 anfangs (nach dem Schwerpunkt der h Punkte u^ , v^ , tv, , ■ ■ ■ ) kann 

 man daher, wie ich in § 5 zeigen werde, erreichen, daß in jeder dieser 

 h Bewegungen m, = wird. Ist dann ^ > , so ist Ö zerlegbar. 



III. In einer une?idlichen diskreten unzerlegbaren Bewegungsgruppe 

 der Dimension n befinden sich n linear unabhängige Translationen. Die 

 rotaticen Teile der Bewegungen bilden eine endliche Gruppe^ deren Ordnung 

 eine bestimmte nur von n abhängige Schranke nicht überschreitet. 



§ 5- 

 Die Summe der translativen Teile der ausgewählten h Bewegungen 

 (2.) § 4 bezeichne ich mit 



hs = M + ü + MI + • • ■ . 



So lange jene Auswahl noch nicht getroffen ist, ist .9 nur bis auf 

 den /<ten Teil einer willkürlichen Translation genau bestimmt. Ver- 

 legt man den Koordinatenanfang nach s, so geht (L,u) in 



(E,-s) (L,u} {E,s) = (L, Ls-s + u) 



über. Ist nun LM = N, so ist 



(i,M) (M,v) = {A\w + z), 



wo z eine Translation von @ ist. Wenn man hier {L,u) festhält, 

 aber (M, v) die h Bewegungen (2.) § 4 durchlaufen läßt, so durchläuft 

 auch {N . w) diese h Bewegungen. Durch Addition der h Gleichungen 



Lv -\- U :^ W + Z 



ergibt sich 



liLs + liu = hs + t, h{Ls — s + u) ^ t. 



WO t als Summe von Translationen in a5 auch eine solche ist. 



IV. Tn einer unendlichen diskreten unzerlegbaren Bewegungsgruppe 

 seien L^ M, N^ ■ ■ ■ die h verschiedenen rotativen Teile der Bewegungen^ und 

 (L, u)j (Mj vjj (Nj w)j ■■■ h beliebig ausgewählte Bewegungen^, deren 

 rotative 'Teile verschieden sind. Man verlege den Koordinatenanfang nach 



