6fi4 Sitzimf; der physikaliscli-inatlieinatischi^n Classe vom Ifi. Juni 1911. 



dem Schwerpunkte der Funkte u, Oj,w^ ■■■ . ht dann (A^p) irgendeine 

 Bewegung der Gruppe, so ist (E , hp) eine Translation der Gruppe. 



Dieselbe Betrachtung kann man in dem Falle anwenden, wo i3 

 eine endliche Gruppe ist. Verlegt man dann den Koordinatenanfang 

 nach dem Schwerpunkte von u , v , w , ■ ■■ , so verschwinden in allen 

 Bewegungen der Gruppe die translativen Teile, und man erhält eine 

 mit der Darstellung (2.) § 4 kongruente Darstellung der Grupjje durch 

 homogene Substitutionen (/-,<>). (^. 0)> {N,0), ■■■ . Durch diese Re- 

 duktionsmethode hat Hr. J. Schub in § 3 seiner Arbeit Neue Begrün- 

 dung der Theorie der Gruppencharaktere, Sitzungsber. 7.905, füi" endliche 

 Gruppen die Methode von Maschkk (H. S. 327) ersetzt. 



Die weiteren Entwicklungen des Hrn. Bieberbach sind rein arith- 

 metischer Natur, beziehen sich nur auf reelle Gruppen und stützen 

 sich auf Sätze von Minkowski. Sein Hauptresultat läßt sich in etwas 

 schärferer Fassung (indem Isoinorplimnus durch Äquivalenz ersetzt wird) 

 so aussprechen: 



V. Die unendlichen diskreten^ unzerlegbaren^ reellen Bewegungsgruppen 

 der Dimension n zerfallen in eine endliche Anzahl äquivalenter Gruppen. 



Man kann eine endliche Anzahl von Bewegungsgruppen i]> (nicht 

 in orthogonaler Gestalt) angeben, unter denen sich aus jeder Klasse 

 mindestens eine findet. 



Die Substitutionen jeder endlichen Gruppe iö von Matrizen nten 

 Grades, deren Koeffizienten ganze Zahlen sind, transformieren eine 

 positive quadratische Form in sich. Zwei solche Gruppen ® und iS 

 nenne ich (G. S. 8) unimodular äquivalent, und ich rechne sie zu der- 

 selben Klasse, wenn ® durch eine ganzzahlige Substitution der Deter- 

 minante ± 1 in !Ö transformiert werden kann. Aus einem Satze von 

 Minkowski folgt dann, daß diese Gruppen in eine endliche Anzahl von 

 Klassen zerfallen. Sei ^'^A-\-B-{-C-\---- der Repräsentant einer 

 dieser Klassen, A die Ordnung von .*ö'. Die zu definierenden Bewegungs- 

 gruppen .s3 haben alle dieselbe Translatioiisgruppe %. Sie besteht aus 

 allen Translationen t, deren Koeffizienten ganze Zahlen sind. Die 

 Gruppe i3 besteht aus den Substitutionen 



(I.) (^,1..), (5,j-.| (C,|,.) 



worin für ti, t^, tp, ■■• alle Spalten ganzer Zahlen zu setzen sind, die 

 einer bestimmten Si)alte (mod. h) kongruent sind. Die Spalten t.^ , tg , /(. 

 bilden (mod. A) eine Lösung der Kongruenzen, die man aus 



(2.) AiB-\rtA = tAB (mod. Ä) 



erhält, indem man fiir A und B irgend zwei Elemente von 5>' setzt. 

 Der Gruppe ö' entsprechen so viele Gruppen ö? ^^^ diese Kongruen- 



