Frobeniüs: Griippentheoretische Ableitung der 32 Kiystallclassen. b81 



Gruppentheoretische Ableitung der 32 Kristall- 

 klassen. 



Yon G. Frobenius. 



Uie A'on Hrn. L. Bieberbacii entwickelte Tlieorie der unzerlegbaren, 

 unendlichen, diskreten Bewegungsgruppen habe ich in einer kürzlich 

 hier erschienenen Arbeit vereinfacht. Die reellen Gruppen der Dimen- 

 sion B stehen in engster Beziehung zu den Symmetrieeigenschaften der 

 Kristalle. Zwei Kristalle werden zu derselben Klasse gerechnet, wenn 

 die beiden ihren Gruppen JÖ und Öo zugeordneten endlichen Gruppen 

 5' und iöo äquivalent sind, Öo = U~^Q'U. Diese endlichen Grup- 

 pen sind dadurch charakterisiert, daß sie Gruppen äquivalent sind, 

 deren Koeffizienten ganze Zahlen sind. Die Aufgabe ist also, alle 

 nicht äquivalenten endlichen ternären Gruppen mit ganzzahligen Koef- 

 fizienten zu ermitteln. 



Die Substitutionen einer solchen Gruppe, die ich jetzt mit i3 be- 

 zeichnen will, lassen eine positive quadratische Form mit ganzen Koef- 

 fizienten ungeändert. Die Gruppen können daher aus der Theorie der 

 Reduktion der positiven ternären Formen abgeleitet werden. Hier 

 aber will ich einen anderen Weg einschlagen und sie allein aus der 

 Lehre von den Gruppencharakteren entwickeln. Transformiert man jene 

 quadratische Form in eine Summe von Quadraten, so erhält man eine 

 mit Jö äquivalente Gruppe orthogonaler Substitutionen. In dieser Ge- 

 stalt, die der geometrischen Deutung bequemer zugänglich ist, werden 

 diese Gruppen gewöhnlich betrachtet. Aber eine Kristallklasse wird 

 durch eine endliche orthogonale Gruppe nur dann definiert, wenn sie 

 einer ganzzahligen Gruppe äquivalent ist. Glücklicherweise lassen sich 

 25 der 32 Gruppen i3 als ganzzahlige orthogonale Gruppen darstellen, 

 nur die 7 Gruppen des hexagonalen Systems lassen eine solche Dar- 

 stellung nicht zu. 



Der Ausdruck Gruppe wird hier meist in dem Sinne von Dar- 

 stellung einer abstrakten Gruppe gebraucht. Zwei endliche Gruppen von 



Matrizen ^ = A + B+C -\ und ^^ = A^ + B^-]-C^-\ werden 



äquivalent genannt, wenn es eine solche Substitution ?7gibt, daß U'^ AU, 



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