fi82 Gesainintsit/.urij;- vom 22. Juni 1911. 



U'' BU, U'^ CU, ■■■ , abgesehen von der Reihenfolge mit A^, B„, C„, ■■■ 

 übereinstimmen. Dann gibt es, wenn <ö und S^„ ganzzahlig sind, ancli 

 stets eine ganzzahlige Substitution U, die § in iS^ überführt. Denn 

 die Koeffizienten von Usmd aus linearen Gleichungen (z. B. AU = UCg) 

 zu berechnen. 



Die eben aufgestellte Definition einer Kristallklasse findet sich 

 nicht überall mit ausreichender Genauigkeit gegeben. Die Definition 

 der Äquivalenz von zwei Darstellungen derselben abstrakten Gruppe ® 

 ist etwas schärfer, und erfordert, daß U~' AU = A„, U'^BU— B„-- 



ist. Dazu ist notwendig und hinreichend, daß ^:=A + B+C-\ und 



§0 — ^0 + ^0 + C'o + • ■ • in dieser Reihenfolge der Substitutionen iso- 

 morph, und mit ® hoinomorph sind, und daß entsprechende Substitutio- 

 nen die gleiche Spury^{A) = %{Aa),%{B) = y^B^), ■■■ haben. Dieser 

 Satz gestattet genau zu erkennen, welche der ermittelten Gruppen 

 äquivalent und welche wirklich verschieden sind. 



§ I- 

 Die Sätze, die ich aus der Theorie der Gruppencharaktere brauche, 

 will ich hier kurz zusammenstellen. Ist %{R) der Charakter einer 

 irreduzibeln oder transitiven Gruppe ^ der Ordnung /*, so ist 



(1.) ^xiR-')x{R) = h. 



R 



Ist ■4^{R) ein von x(^^) verschiedener Charakter, so ist 



(2.) %HR-') x{R) = 0, 



insbesondere ist, wenn 4^ der Ilauptcharakter ist, 



(3.) 2 X(Ä) = oder h, 



das letztere, wenn %{R) auch der Hauptcharakter ist. Sind /, /', /", • ■ • 

 die Grade der sämtlichen verschiedenen t^ansiti^'en Darstellungen von 

 §, so ist 



(4.) /'+/"+/'"+■■■ = h. 



Ferner ist 



(5-) ^x{fi') = ch. 



Hier ist r = 1 , wenn die Darstellung reell (einer reellen äquivalent) 

 ist, sonst ist c = -1 oder 0, je nachdem sie der konjugiert kom- 

 plexen Darstellung äquivalent ist oder nicht. {Über die reellen Dar- 

 stellungen der endlichen Gruppen, Sitzungsber. 1906.) Eine reelle Dar- 

 stellung, die nur reell unzerlegbar ist, zerfällt in zwei konjugiert 

 komplexe Darstellungen, die einander äquivalent sein können oder 

 nicht. 



