Frobeniüs: Grupiientlieoietisclie Alileitung der 32 Krystallflasseti. 68H 



Das Produkt von zwei Charakteren ist eine lineare Verbindung 

 der Charaktere, deren Koeffizienten (positive oder negative) ganze 

 Zahlen sind. Ist daher f{x) eine ganze Funktion der Variabein .r, 

 deren Koeffizienten ganze Zahlen sind, so ist auch f{y^(R)) eine solche 

 Verbindung, und mithin ist nach (3.) 



(6.) 2 /(X(Ä)) = " (mod. Ä) . . 



In der folgenden Untersuchung sind die h Werte von %{R) rationale 

 ganze Zahlen. Konnnen unter ihnen nur tn verschiedene vor, ^i , v ,, 

 ■■• v,„, und zwar (/, mal der Wert t\, so ist demnach (vgl. J. Schub, 

 Über eine Klasse von endlichen Gruppen linearer Substitutionen, Sitzungsber. 

 1905) 



(7.) X ^'^/("'^) — ^ (mod. Ä), 



also für f{x) = (x-v^) {x—v^) ■■■ {x-v,„) 



(8.) gi{t\-v.) (i'i-üä) •• (i',-tv) EE^ (mod. A). 



Diese Relation gilt aber auch, wenn v^, ■■■ v,„ nicht rationale Zahlen 

 sind. Es kann sogar unter yj{R) eine lineai-e Verbindung 



V = uY{R) + u"x"(R) + u"'x"'iR)+ ■■■ 

 der unabhängigen Variabein w', w", w '",•■• verstanden werden, deren 

 Koeffizienten mehrere verschiedene Charaktere sind, und unter i\ , r.^ , ■ • • i\, 

 die verschiedenen unter diesen linearen Funktionen. 



§2. 



Bei den abzuleitenden 32 Gruppen unterscheide ich 4 Typen. 

 Die Gruppen des letzten, regulären Typus sind irreduzibel; die des 

 ersten, elementaren zerfallen in 3 reelle Komponenten, ihre Substitu- 

 tionen haben alle die Ordnung 2. Die des zweiten und dritten Typus 

 zerfallen in 2 Komponenten der Grade 1 und 2. Beim dritten, meta- 

 zyklischen Typus ist die binäre Komponente überhaupt irreduzibel, 

 beim zweiten, zyklischen, ist sie nur i-eell unzerlegbar. Der erste und 

 der zweite Typus enthalten die kommutativen Gruppen. 



Außerdem erreiche ich eine besondere Übersichtlichkeit, indem 

 ich die Gruppen nicht wie üblich in 2, sondern in 3 Arten teile. Die 

 Substitutionen der betrachteten Gruppen haben die Determinante + I 

 oder - ]. Je nachdem heißen sie eigentliche Substitutionen (Drehungen), 

 oder uneigentliche. Es gibt nur eine Substitution, deren 3 charakte- 

 ristische Wurzeln alle gleich -1 sind, die Inversion J=.-E. Die 

 1 1 Gruppen 51 der ersten Art enthalten nur Drehungen, die 1 1 Grup- 

 pen (E der dritten Art enthalten die Inversion, die 10 Gruppen 55 der 

 zweiten Art enthalten nicht die Inversion und nicht nur Drehungen. 



