684 Gesamnitsitzung vom 22. Juni 1911. 



Eine Substitution R einer dieser ternären Gruppen kann nur die 



Ordnung 



Ar = 1.2,3,4,6 



haben, weil nach der Formel (3.) § 5 meiner Arbeit über die unzer- 

 legbaren diskreten Bewegungsyruppen cp (k) < 3 sein muß. Die 3 Wurzeln 

 einer solchen Matrix R sind durch die Spur %{R) und die Determi- 

 nante £ vollständig bestimmt, sie genügen der Gleichung 



Gehört die Matrix R einer (4ruppe 21 der ersten Art an, ist also 

 ihre Determinante gleich + 1 , so sind für ihre 3 charakteristischen 

 Wurzeln nur die folgenden 5 Kombinationen zulässig, worin p eine 

 primitive kubische Einheitswurzel bezeichnet: 



Die Summe der 3 Wurzeln oder der Charakter %(i?) ist entsprechend 

 X: 3-1 1 2 . 



Nach (8.) § 1 geht daher die Ordnung h von 51, weil r/3 = 1 

 ist, in (3 + 1) (3-1) (3-0) (3-2) = 24 auf. Unter den h Werten y,{R) 

 seien g^ gleich ?. (= , ± 1 , 2 , 3). 



Zerfällt die Gruppe 51 in 3 reelle Komponenten, so haben ihre 

 Substitutionen die Gestalt 



(l.) x = +x', y = +y', s = +,z'. 



weil + 1 und - I die einzigen reellen Einheitswurzeln sind. Die 

 4 eigentlichen unter diesen 8 Substitutionen bilden die Vierergruppe 

 21 2.2, worin die Gruppen 21, und 51 2 der Ordnungen 1 und 2 ent- 

 halten sind. 



Ist dagegen 21 irreduzibel, so ist nach (i.) § i, weil der Charakter 

 %{R) = %{R-') reell ist, 



2 ^xX^ = Ä , ^g, = h, S 5'.(X=- 1) = , 



also 



(2.) go = 8+Sg,, 



wo g^ vmd g^ die Anzahl der Substitutionen der Ordnungen 3 und (i 

 bezeichnen. Mithin ist hl^ g^ + go ^ 9 (was auch aus (4.) § i folgt), 

 und daher A = 12 oder 24. 



Ist h — 12, so ist ^2 = 0. Sonst wäre h^g^ -\- g^ + g^>9 + 4<7j> 13. 

 Daher ist ^„ = 8 , und 21 enthält 4 Untergruppen ® der Ordnung 3. 

 Folglich ist die Gruppe 21 isomorph einer Gruppe von Permutationen von 



