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Frobenius: Gruppentheoretische Ableitung der 32 Krystallchissen. fi85 



(Sl:®) = 12:3 = 4 Symbolen, der Tetraedergruppe. In der Tat läßt 

 sU-h diese stets und nur in einer Art als irreduzible ternäre Gruppe 31,, 

 darstellen {Üher Gruppencharaktcre, § 8; Sitzungsber. 1896). 

 Ist /i = 24, so ist nach (8.) §1 



^2 (2 -3) (2 + 1) (2-1) (2-0)- (mod. 24). 



Ist also i/n > , so ist ^2^4 und /* ^ (73 + ^^ + ^2 > 9 + 4 ^r^ > 25. Da- 

 her ist .f/a ^ , und 51 enthält 4 Untergruppen ® der Ordnung B. Die 

 mit ® vertauschbaren Substitutionen von 21 bilden eine Gruppe %' der 

 Ordnung 24 : 4 = 6. Folglich ist 51 isomorph einer Gruppe von Per- 

 mutationen von (51 : ®') =: 4 Symbolen, der Oktaedergruppe, voraus- 

 gesetzt, daß ©' keine invariante Untergruppe von 51 enthält (tlber end- 

 liche Gruppen, § 4; Sitzungsber. 1895). Nun ist ® = E + L + L^ wohl 

 in ®', aber nicht in 5t invariant, eine Untergruppe ^^ =^ E -{- M der 

 Ordnung 2 ist aber nicht einmal in ®' invariant, sonst wäre L mit 

 M vertauschbar, und LM hätte die Ordnung 6, während <7a = ist. 

 In der Tat besitzt die Oktaedergruppe zwei und nicht mehr irredu- 

 zible ternäre Darstellungen, 5U4 und 5?24 {Über Gruppencharaktere, § 8). 

 Die letztere entsteht, indem man von der Gruppe aller Permutationen 

 von 4 Symbolen die dem Hauptcharakter entsprechende Darstellung 

 abspaltet, und enthält daher 12 eigentliche Substitutionen (51,2) "nd 

 12 uneigentliche. Multipliziert man diese 12 mit -E, so erhält man 

 die zu 5^.j4 assoziierte Darstellung 51 24 (vgl. § 4). 



§ 3- 

 Besitzt die Gruppe 51 zwei reelle Komponenten, so hat jede ihrer 

 Substitutionen R die Gestalt 



x = ax' + ßy' , y = yx' + dy' , z = sz' . 



Hier ist e = ± 1 , und mithin a^-ßy = e. Folglich ist R durch 

 seinen binären Teil vollständig bestimmt; dieser allein soll daher in 

 diesem Paragraphen mit R bezeichnet werden, und die von diesen 

 Substitutionen R gebildete binäre Gruppe mit 51. Für die Wurzeln von 

 R sind nur die folgenden 6 Kombinationen 



1-1 i P —p 1 



1 -1 -i p- -p^ -1 



zulässig, denen die Werte des Charakters 



X: 2-2 0-1 1 (I 



entsprechen. Es ist ^2 ^ 1 , und ff_,, = 1 oder 0, je nachdem die Sub- 

 stitution F ^^ -E in 51 vorkommt oder nicht. 



