686 Gesamintsitzung vom 22. Juni 1911. 



Ist die Gruppe ?l nur reell unzerlegbar, so sind ihre beiden 

 Komponenten konjugiert komplex (und nicht äquivalent); folglich kann 

 keine Substitution von 51 die Wurzeln 1,-1 halten. 



Ist (j_„ =-- 0, so ist auch (/„ ^^ und y, = 0. Denn hat R die 

 Wurzeln /, -i, so hat R^ die Wurzeln -1, -1. Nach (8.) § i ist da- 

 her h ein Divisor von 3, und man erhält die zyklische Gruppe 21 3. 



Ist y_2 = 1, so schließe ich ans (i.) und (2.) § i 



2 9>. >-' = 2A , ^g>(\^-\) = h, ff„ = 6 - A , 



demnach A = 4 oder G. Ist A = 4, so ist (/„ = 2; ist A = 6, so ist 

 5*0 = 0, i/i + (/_i = 4. Da aber -E in 21 voi-kommt, so ist f/, = i/_i 

 = 2, weil jeder Substitution R der Ordnung 3 oder G eine Substitution 

 — R der Ordnung 6 oder 3 entspricht. So erhält man die beiden zy- 

 klischen Gruppen 2t, und 9l„. 



Ist aber 21 im Bereiche aller (irößcn irreduzibcl, so ist 



V g„ X^ = h, ^g,{X^-l) = 0, (/„ = 3 (ff, + ff.,) . Wf^ 



Ist y_, = 0, so ist (/„ = 3, /( ^ 4, und nach (S.) §1 ist A ein 

 Divisor von 6, demnach Ji ^= 6. Folglich enthält 21 keine Substitution 

 R der Ordnung 4 (mit den Wurzeln /, -«'), sondern y„ - 3 Substi- 

 tutionen M der Ordnung 2 (mit den Wurzeln 1. -l), also kein Ele- 

 ment der Ordnung 6, aber zwei Elemente L und i"' der Ordnung 3. 

 Daher ist 3I~^ LM = Lr\ und wir erhalten eine Diedergruppe oder meln- 

 zyklisrhe Gruppe. Diese besitzt eine und nach (4.) § i nur eine bi- 

 näre Darstellung 2I3.2. 



Ist aber y_j = 1 , so ist ^(, = 6. In diesem Falle müssen wir die 

 Formel (5.) § i 



zu Hilfe nehmen. Von jenen ^o = ^ Substitutionen mögen g' die 

 Wurzeln i, —i haben, g" die Wurzeln 1, -1. Dann ergibt sich 



g'-g" = ß-h, 2g' = \2-h, 2g" = h. 



Daher ist h< 12, A > g^ + g-t + ^o = §• -A^ls Divisor von 24 ist 

 daher A =: 8 oder 12. 



Ist A = 8, so enthält 21 genau f/' = 2 .Substitutionen L und L~' 

 der Ordnung 4, also eine invariante Untergruppe 1* der Ordnung 4, und 

 außer E und L^ ^ F nur noch g" = i Substitutionen M der Ord- 

 nung 2. Demnach ist 21 = Ö + ^M, (LMf = E, M'LM = L'\ Aus 

 (4.) § I ergibt sich leicht, daß diese (nicht kommutative) Diedergruppe 

 eine und nur eine binäre Darstellung 2I4.3 besitzt. 



Ist A = 12, so ist g' = 0, y" = 6 , g, + g^i = 4, mithin y, = g_i 

 = 2. Die Gruppe enthält genau g^ = 2 Substitvitionen L und L'^ der 



