Fhobenius: Gruppentheoretische Ableitung der 32 Krystallclassen. 68 < 



Ordnung- Ü, und außer F noch g" = 6 Substitutionen M der Ordnung- '2. 

 und es ist M'^LM — Jr\ Ilire Kommutatorgruppe li + 7/ + /-'' 1ki( 

 die Ordnung 3. Daher hat die Gruppe 12 : 3 -= 4 Darstellungen des 

 Grades / = 1. Ist ^ = E + F , so ist die Gruppe 21 : ^^ mit Jlg.^ iso- 

 morph und besitzt daher eine binäre Darstellung-, deren Charakter 4^(11) 

 für R = F den Wert 4^{F) = + 2 hat. Außer diesen mit ?l Iiomo- 

 morphen Darstellungen hat sie daher nach (4.) § i eine und nur eine 

 mit Sl isomorphe binäre Darstellung ?l,;.2, worin y^iF) = —2 ist. 



Von den 6 abgeleiteten binären Gruppen enthalten 21,, 31, und 

 2l„ niu- eigentliche binäre Su))stituti()nen, 2I3.2, 21,., und 21,,., aiieli 

 uneigentliche. Mit Hilfe der Substitutionen 



'■■> -< = (r;)- ^-r;-:)- --(ro- ■"-{:;) 



lassen sich diese Gruppen ganzzahlig darstellen. 



Es gibt zwei irreduzible l)inäre Gruppen Ü und Ü' der Ordnungen 

 8 \md \2, die vollständig durch die Bedingungen bestimmt sind, daß 

 sie nur ein Element der Ordnung 2 enthalten und doch nicht kommu- 

 tativ sind. Q ist die bekannte Quaternionengruppe. Für die Wurzeln 

 ihrer Substitutionen sind auch nur die obigen Kombinationen zulässig, 

 ihre Charaktere sind reell, aber die Gruppen lassen sicli nicht in re- 

 eller Gestalt darstellen, sondern sind der konjugiert komplexen Grup[)e 

 äquivalent. Daher ist ^ V^iR^) ^= - h und [/" = 0. Um diese l)eiden 

 Gruppen auszuschließen, mußte ich oben von der Formel (5.) § i Ge- 

 brauch machen. 



§ 4- 



In der obigen Entwicklung hätte ich, ohne die SchKisse zu ändern, 

 mit den Gruppen der ersten Art 21 auch gleich die der zweiten Art 

 23 ermitteln können. Eine deutlichere Einsicht in den Bau und die 

 Beziehungen dieser Gruppen erhält man aber, wenn man sie auf die 

 der ersten Art zurückführt. 



Die eigentlichen Substitutionen einer Gruppe 2? bilden eine Gruppe 

 der ersten Art 21', deren Ordnung // die Hälfte der Ordnung 2 h von 5B 

 ist. Die h Matrizen der uneigentlichen Substitutionen von ^^, unter denen 

 sich - E nicht befindet, seien - P , - Q , - R, ■■ ■ . Von den eigentlichen 

 Substitutionen P,Q,R,--, deren Komplex ich mit C bezeichne, ist 

 keine in 21' enthalten, denn sonst enthielte 23 die Substitutionen P 

 und - P, also auch die Invei-sion —F. Sie blhlen mit den Sid)stitu- 

 tionen von 21' zusammen eine Gruppe 21+0' = 21 der ersten Art von 

 der Ordnung 2h. Analog bezeichne ich den Komplex - P, - Q , ~ R , ■ ■■ 

 mit -?' und setze 23 = 21' + (-C) oder kürzer 23 =: 21' -C'. Mit Aus- 



