688 Gesammtsitzung vom 22. Juni 1911. 



nnlimc von ^Bj enthält jede Gruppe der zweiten Art eine Spicgduny 

 S, kann also 2' = -Sl'/S = --SSt' gesetzt werden. 



Sei umgekehrt 31 eine Gruppe der ersten Art von gerader Ordnung 

 '2 h, die invariante Untergruppen von Index 2 hat. Ist 51' irgendeine 

 solche, und ?' der Komplex der h anderen Substitutionen, so ist 

 Sl'-ß' = 58 eine Gruppe der zweiten Art. Zwei Gruppen Sl = 31' + ß' 

 und 33 = 31' -ö' werden assoziiert genannt. SC ist der größte gemein- 

 same Divisor von 31 und ©. 



Das hier benutzte allgemeine Prinzip der Gruppentheorie lautet 

 so : Besitzt eine Gruppe einen Charakter ersten Grades u , ß ,y , ■■• , 

 .<50 ergibt sich aus jeder ihrer Darstellungen durch die Matrizen 

 A , B, C, ■■■ eine andere durch die Matrizen aA, ßB, yC, ■•■ . Zwei 

 solche Darstellungen werden assoziierte genannt. 



Jeder Gruppe 33 ist daher eine und nur eine Gruppe 31 assoziiert, 

 einer Gruppe 31 aber, die invariante Untergruppen vom Index 2 hat, 

 können auch mehrere Grupjien S assoziiert sein. Assoziierte Gruppen 

 orlialten in der Tabelle dieselbe Nummer, welche ihrer Ordnung gleich ist. 



Den Gruppen 31,, SI3 und 31,2, <lie keine invarianten Untergruppen 

 vom Index 2 haben, ist keine Gruppe 3? assoziiert, den Gruppen Sl,, 

 31,, 31,;, 3I32 und 3I24 je eine. Die Substitutionen A^on 3(4,2 zerfallen in 

 die folgenden 5 Klassen konjugierter Elemente 



E, L\ L + L\ M + L'M. LM + L'M. 



Jeder dieser invarianten Komplexe erzeugt eine Gruppe. Diese Grupjjen 

 und ihre Produkte sind die sämtlichen invarianten Untergruppen von 

 Sl^o- Drei davon haben die Ordnung 4. Die eine, 3(4, wird von den 

 Potenzen von L gebildet und führt zu 334.2 = 314-5)^4. Die beiden 

 andern sind Vierergruppen und führen zu den Gruppen zweiter Art 



Diese sind in der angegebenen Anordnung isomorph, und die ent- 

 sprechenden Substitutionen haben denselben Charakter. Daher sind 

 die Gruppen äquivalent. Die erste geht durch die Transformation 



(I) u= -^+(i+]/^)x 



i + (1 + )/2 ) E 



in die zweite über. Ist L orthogonal, so ist es auch U, eine Drehung 

 um dieselbe Achse wie L, aber nur um den halben Winkel. 



Wir erhalten also nur eine zweite Gruppe 234'.2 = SI2.2 - ?2.2- Ebenso 

 ist es bei 316.2 und 3I2.2. Die der Gleichung (i.) entsprechende Trans- 

 iormation erhält man bei S3c.2, indem man V'2 durch ]/3 ersetzt. 



