G90 Gesammtsitzung vom 22. Juni 1911. 



Die Gruppen der dritten Art 6 enthalten die Inversion J = -E . 

 die mit jeder Substitution vertanschbar ist. Die eigentlichen Substitu- 

 tionen von 6 bilden eine Gruppe 51 der ersten Art, die uneigentlichen 

 den Komplex 51J. Ist also "^ =-~ E -[- J , so ist 



(3.) g=:Slx3 



das direkte Produkt der beiden Gruppen % und 3- So entsprechen den 

 11 Gruppen 5t eindeutig 11 Gruppen li. Die Ordnung von G ist do])pelt 

 so groß wie ihr Index. Ist 33 irgendeine mit 51 assoziierte Gruppe, 

 so ist auch 6 = $^ X 3- Die Gruppe 6 ist das kleinste gemeinschaft- 

 liche Vielfache von 51 und 53 (und 53'). 



Die außerordentliche Zweckmäßigkeit der hier eingeführten Be- 

 zeichnung für die 32 Kristallklassen, die ohne jede Willkür aus der 

 Gruppentheorie geschöpft ist, ergibt sich auch bei der Einordnung der 

 32 Klassen in die bekannten 7 Kristallsysteme. Diese sind das 1. tri- 

 kline, 2. monokline, 3. rhombische, 4. rhomljoedrische, 5. tetragonale, 

 (i. hexagonale, 7. reguläre System. Die Ziflern in der ersten Spalte 

 der Tabelle geben an, zu welchem Systeme die Gruppen der Zeile 

 gehören. 



Wenn (E^ für A = 4, G dem zweiten, S,..2 dem dritten Typus zu- 

 gerechnet ist, so ist damit nicht ausgedrückt, daß (£^ eine zyklische, 

 S,.2 eine metazyklische Gruppe ist. Dies trifft nur für die Gruppen 

 der beiden ersten Arten zu. 



§5- 

 Eine Substitution, die zugleich ganzzahlig und orthogonal ist, ent- 

 hält in jeder Zeile und in jeder Spalte einen Koeffizienten ± 1 und zAvei 

 Koeffizienten 0. Solcher ganzzahliger Substitutionen, die .r^ + y" + z- 

 ungeändert lassen, gibt es 48, aus jeder der 6 Permutationen, z. B. 

 X = y' , y ^^ z' , z ^ x entspringen 8, nämlich a; = ±.y' , y ^ ±- z' , 

 ^ = jt a;'. Die von ihnen gebildete Gruppe muß also mit 6,4 identisch 

 sein. Die 8 Substitutionen (i.) § 2 bilden die Gruppe 63. 2, die 6 Per- 

 mutationen bilden die Gruppe SSs.., demnach ist 



(I.) 6,4 = ©3.= e=... 



Mit dieser einfachsten Darstellung von (i^i ist zugleicli für die meisten 

 der 32 Gruppen eine normale Darstellumj gewonnen, weil sie fast alle 

 Untergruppen von ß,^ sind. Ausgenommen sind allein die 7 Gruppen 

 des hexagonalen Systems 51^, 33«, e^, 5l„.,, 53„.2, 53^!.» und ^„.j. Sie 

 sind alle in der Gruppe ß^^ enthalten, und diese besteht aus allen 

 ganzzahligen Sul)Stitutionen, welche die beiden Formen x" +.xy + y' 

 und 2° ungeändert lassen. 



