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Zur Theorie der elliptischen Functionen. 



Von L. Kkoneoker. 



(Vorgetragen am 27. Mai und am 29. Juli [s. oben S. 525 und 8. 689]. 



(Fortsetzung der Mittheilung vom 30. Juli 1885, XXXVIII.) 



XI. 



In einem jener nicht genug zu schätzenden und doch wohl nicht 

 genug gekannten JAcoBi'schen Aufsätze über die elliptischen Func- 

 tionen, welche eine Hauptzierde der ersten Bände des Journals für 

 Mathematik bilden, findet sich eine Recui'sionsformel zur Bestimmung 

 der bei der Transformation der elliptischen Functionen auftretenden 

 Coefficicnten, welche, wie es a. a. 0. heisst, die allgemeine Lösung 

 dieses Trnusformationsproblems in gewissem Sinne vollständig enthält, 

 und zwar in einer von den früher durch Abel und Jacobi gegebenen 

 Lösungen ganz verschiedenen Weise.' Ich habe von dieser Recirrsions- 

 f'ormel bei meinen Untersuchmigen über die elliptischen Functionen 

 mit singulären Modidn vielfach Gebrauch gemacht und bin hierdurch 

 auf eine allgemeine Eigenschaft der erwähnten Coefficienten geführt 

 worden, welche sich dann als bestes Fundament für die arithmetische 

 Behandlmig der singulären Moduln und der zugehörigen ellijJtischen 

 Functionen selbst ei'wies. 



§•1. 

 Setzt man, wie es Jacobi a. a. 0. thut: 



a; = |/x sin am (m , x) , 



so ist. gemäss den JAroBi'schen Bezeichnungen, der Zusammenhang 

 zwischen u und x sowohl durch die Gleichung: 



' Suifr des niilicrs xitr lex fonttiniix e/tiptii/w/i. Journal für Mathematik Bd. ]y 

 S. l8s i"i(I .lAroni's gfsainniolto Werke Bd. 1 S. 266. Hierin giebt Jacobi mich die 

 vollständige .\utlösung der Tran-sforniationsgleichiingen durch einen Satz, von welchem 

 er a. a. O. .sagt: «Ce thenrhne est un des plus importants , trouves jusqu'ici dan,<s la thenrie 

 des fonctions elhptiques. 11 fournit aussi la Solution alyebrique et generale de Fequation du 



