Kroneckkr: Ziii- Theorie der elli))ti.sclieii Fimetionen. tO^ 



x^ — 2fla;" + 6^' — 2pa;- + i 

 (•2 ) sin am 2» = !— jt , 



mid. wciiii man jetzt p = mi , also y = |/x sinam «?/ nimmt: 



2x{i —oc*)yi — px^ + ar*- sin am nu + ( i — a;*)' y sin am 2?/ 



(■^) I /csinam(// + 2)11 = . 



{i — X*)' — ^x- y"' {i — fx- + x^) 



Kür n = 1 wird dcmticmäss: 



"ix — 4pa;' + 6x^ — a;5 

 1 /. sinam -iii = ^^ — — ? -— , 



' ■ 3 a-*'— 4pa;'^ + 6jr* — I 



und clx-nso resnltirt l'iir j<'<li' uuijrade Zahl 11 eine Gleichung: ^ 



(4) 1 y. sinam //»= ( i)' .,--, ', — , , 



<p,,oX"-' + <ly„,x''-' + ... + <p„..x' + i 



in weicher i' = \ (n' — 3) ist, und in welcher die |(«" — i) Coefficienten 

 <l',,o- 'Pni ^ 'P„- • ■ ■ ■ ganze ganzzahlige Functionen von p, also »ganze 

 (J rossen« des natürlichen Rationalitätsl)ereiclis (p) und folglich auch 

 ganz<" (irössen des Rationalitäts])ereichs {Wl) sind. 



Setzt man dies nämlich für -eine hestimmte ungrade Zahl // als 

 hewiesen voraus, so lässt es sicli mit Hülfe der (ileichung (3) für die 

 Zahl ;/ + 2 erschliessen. 



Denn, wenn wieder 3/ = l-^jc sin am//« genommen wii'd, so ergieht 

 sich zmörderst mittels der Relation: 



> . , '^1/ 



sin am nu = — sm am u - , 

 n ax 



dass dei- im Zähler auf der rechten Seite der Gleichung (3) vorkommende 

 Ausdruck : 



y i ~ px' + X* ' sin' am im 

 in der Form: 



I , , ,. 'iV^ sinam nu 



— ( 1 — pa- + X*) , 



II fix 



also als rationale Function von .[• und p mit ganzzahligen Coefticienten 

 dargestellt werden kann. Setzt man demgemäss: 



p 



\' i — px' + a;' • sin' am im = , 



H 

 wo P. Q zwei ganze Grössen des Hereiclies (p . J') ohne gemeinsamen 



P- 



Theiler l)edeuten, so ist gleich dem Product: 



(I -px' + X') (1 -p^^ + y«) 



also, gemäss der durch <lie Gleichung (4) voraugesetzten Darstellung 

 von y oder ) X sin am /»/, gleich einem Bruche , in welchem <1> und 



