Kronf.cker: Zur Theorie der elli[)tischen Functionen. /07 



T)or Ausdruck auf der linken .Seite der Gleichung (6) stellt eine 

 üMiizc (Jrösse des Bereichs {p , x) dar, welche in so viel B'actoren 

 zerleg'l)ar ist, als // Divisoren hat. 



Um dies nachzuweisen, sei zuvörderst: 



ferner sei s,„ gleich Null, wenn m irgend einen Primfactor mehrfach 

 enthält, sonst aber gleich + i oder gleich - i, je nachdem die Anzahl 

 (h'r Primfactoren von )/i grade oder ungrade ist, und es sei £, = i . 

 Kndlich sei .F,„(x) detinirt durch die (deichung: 



( 7 ) l^'g -^ ". 1^) = - ^'t log *rf {x) , 



in welcher sicli die Summation auf alle mit d . d' bezeichneten posi- 

 tiven complementären Divisoren von iii liezieht, d. h. also auf alle 

 Zahlenpaare d . if , für welche dd' = m ist. Alsdann ist: 



T-r/ /- . 4.hK+ 2h'K'i\ 

 F,n {x) = W\x -■^y. sm am j , 



wo sich die Multiplication nur auf diejenigen Systeme von Zahlen 

 //■.// — o . 1 , ... /« — 1 erstreckt, welche keinen gemeinsamen Theiler 

 lialieii, der zugleich Tlieiler von m ist. Es ist daher i*^„,(a;) eine ganze 

 Function von x, in welcher der Coefficient der höchsten Potenz von x 

 gl(Mch P^ins mid jeder der ül)rigen eine ganze algebraische dem Bereich (p) 

 eutstanmiende Grösse ist. Andererseits zeigt aber die Gleichung: 



F„Xx)^n(^My\ 



welclie aus der Definitionsgleiclnuigly) hervorgeht, dass die Coefficienten 

 von F„,{x) rationale Grössen des Bereichs (p) sein müssen. Es muss 

 also F,„(x) eine ganze Grösse des Bereichs (p , x) sein. 



Man kann die Grössen £, wie ich es seit einer langen ReiJie 

 von .lahrcu in meinen Uuiversitätsvorlesungen zu thun ptlege, durch 

 di(> (üciclnnig: 



(S) irt~'i£„«~" = I (n= 1,2,3,. .. in iiif.) 



detinircM. in welcher die Variabler al)er nur Werthe annehmen darf, 



liei denen der reelle Tlieil grösser als Eins ist. Dann ist nämlich 



ülieubar : 



i£„«~' = n(l — p"') (n = i,2,3'-- •■»"'*'•) , 



" p 



wenn die >Iul(i])licati(>n rechts auf alle Primzahlen p erstreckt wird, 

 und also in der That : 



£, =' , £,„=(—0% 



