708 Gesammtsitziing vom 29. .Tiili. 



wenn m lauter vorschieden o Primzahlen enthäU und v deren Anzahl 

 bedeutet, aber: 



£„, = O , 



wenn m irgend eine Primzahl mehrmals enthält. Die (Uoichuag (8) 

 kann in der Form: 



i 2; £,„(//<«)"" = I (Hi,nr=i ,2,3, . . .in iiif.) 



dargestellt werden, und man ersielit hieraus, dass: 



(9) -^./=o 



ist, wenn die Summa tion auf alle Divisoren d irgend einer von Eins 



verschiedenen ganzen Zahl erstreckt wird. 



Bedeuten www f (11) , y (n) irgend welche Functionen der Zahlen;/, 



und wird die Function li{ii) durch die Gleichung: 



(10) h{n)= Xf{d)g{d') i<i'i' = n) 



d.(t 



definirt, in welcher die Summation rechts auf alle Zahlein)aarc d , d' 

 zu erstrecken ist, liir die dd' =^ n wird, .so besteht die Relation: 



(11) f(,i) = ^ e,y(d)/,(d') (,/d' = »), 



unter der einzigen Voraussetzung, dass für je zwei Zahlen ?/? , )i 



die Bedingung: 



{12) g{mn)^g{m)g(n) 



ertüUt wird. Setzt man nämlich in der Gleichung (11) den Werth 

 der Fimction h{d') aus der Gleichung (10) ehi, so kommt: 



/(«) =^^J,<J {d) y (d,)f(d,) (äd, d^ = n, . 



also vermöge der Bedingung (12): 



/(«) =,.f ,/^i/ ('/ 'l'Vid^) (''<'. < = ") 



oder : 

 (13) f(u) = -Xj{l)yM^e, (/- = «), 



wo sich die letzte Summe auf alle Divisoren d von )/i Ijezielit. Diese 

 Summation ergiebt aber vermöge der Gleichung (9) den Werth NuU, 

 sobald m> i ist, und den Werth Eins für m= i. Der Ausdruck 

 auf der rechten Seite der Gleichung (13) hat also in der That den 

 Werth f{n). 



Die beiden, nm- an die Bedingung: (j(mn) = y {'»1) (/ (>') geknüpften, 

 correspondirenden Gleichungen : 



f{n) = ^ e,y (r/) k {d) , h {») = Xf{d) y {d') (dd' = .) 



enthalten selbst die Gleichung {9), da diese resultirt, wenn: 

 f[n) = o oder f{n) = i 



