Kronecker: Zur Tlieorie der elliptischen Functionen. 713 



eine 1 «'SDiidcre Bezeichnung einfiilirt. Setzt man nämlich, da dieser 

 Quotient ehie elUptische Function darstellt: 



(-) El,i..,.)=|ii^, 



&„(2(^, 2W) 



SO Avird die Beziehung zu den jAcOBi'schen Bezeichnungen durch 

 folgende Gleichungen ausgedrückt: 



-— = sui am (4A < , k) 



Vk = El ( j . «•) , 2 A' = 77 (^,, (O , 2w)y , 2W=^. 



Für die Function El(^, ?c) bestehen die Fundamentalgleichungen: 



(22) El (^ + I , w) = - El (^ , w) . El (^ + 7 w , 10) = (El (^ , u-))~', 



und es ist also tur behellige ganze Zahlen m, n: 



(2 2*) El (^ + m + mv) = El (^ , ?r). 



Es ist ferner: 



El (o , w) ^ o 

 und : 



wenn \^y., wie oben, diu'ch die (xleichung: 

 )/;^=El(|,^^') 



detinii-t wird. Die Grössen p und 5)t, welche im §. i an Stelle von x 

 eingeführt sind, bestimmen sich also in folgender Weise: 



\{f + 2) = m = {YA{^^(i + tc) , \iv))\ 



und bei dieser Bestimmung von p gilt die Additionsformel (1) im §. i : 



xVi — py- -\- y* + yVi — px" + x* 



I — x>' 



wenn für beliebige Werthe von ^ imd »j: 



X = El (^ , w) , y = El (vi , w) , c = El (^ + *) , 10) 



gesetzt wird. 



Die lineare Transformation der elliptischen Function El (^ , iv) 

 wird gemäss den im §. 3 enthaltenen Entwickelungen durch die 

 Gleichung: 



\yu: + ^ yw + ^7 ^^ ' 



