Kronecker: Zur Theorie der elliptisclien Functionen. 715 



§■ 6- 

 Die (ileicliung F„{x) = o enthält genau nur diejenigen Wurzeln: 

 4.hK+ 2h'K'i f/i + h'w 



für weU'lie li und /(' keinen Divisor vun ii als gemeinsamen Factor 

 haben, und Avelehe daher als »primitive Wurzeln der Theilungs- 

 gleichvnig ^„{x) = o« bezeichnet werden können. Diese primitiven 

 Wurzeln sind sämmtlich ganze algebraische Grössen des Bereichs (p) oder 



des Bereichs J4(E1 (-(i + »'),-'- H')y| imd zwar mit einander con- 



jugirte Grössen, da i^„(x), wie in den beiden vorhergehenden Para- 

 graphen gezeigt worden, in dem angegebenen Bereiche irrednctibel ist. 

 Da die Gleichung (5) des §. 2 die rf Wurzeln: 



,- / ^hK-\- 2h' K'i\ 

 yx sin am I u -\ 1 (A. ä' = o, i, . ..?! — i) 



'i'K'i\ 



hat, so ist deren Product gleich dem Coefflcienten des von x unab- 

 hängigen (Gliedes auf der rechten Seite dieser Gleichimg. Hiernach 

 wii'd : 



,^(«-.) ,- / 4hK+2h'K'i\ 



(24) l'x sin am/m = (—1)" nysmam r»H I. 



A.A' \ n ) 



(h, /t' r= o, I , . . . n — I) 



aIK 

 Setzt man hierin m statt n und alsdann n = , wo / eine ganze 



n 



Zahl bedeutet, so erhält man die tiir beliebige ungrade Werthe von 

 m und n geltende Gleichung: 



,- . 4.lniK 



Kxsmam^^ . 4Ä^+ 2Ä'r A 



yx, sin am 



n 



in welcher sich die Multiplication auf alle ?//- Werthsysteme: 

 h, h' = o , i, . . . m — i 



mit Ausnahme des Systems h = h' = o erstreckt. 



Alle Factoren des Products auf der rechten Seite dieser Gleichung (2 5) 

 sind ganze algebraische dem Bereiche {p) entstammende Grössen; der 

 Quotient auf der linken Seite ist also auch eine solche ganze alge- 

 braische Grösse. Ist nun m prim zu )i. und bestimmt man eine un- 

 grade Zahl m' gemäss der Congnienz: ////«' =s i (mod. «) und setzt: 

 tin=^l', so wird: l^ l' ni' (mod. /i) . und man ersieht also, dass auch 

 der Quotient: 



