Kboneckkr: Zur Theorie der elliptisrlien Functionen. / 1 / 



Avo die Ähiltiplication rechts auf alle ir Wertli.systome A,ä'= o , i ,...// i 

 mit Ausiialune von h =: A' = o zu evstrecken ist. Wenn nun » prim 

 zu in ist, so stellen die beiden Ausdrücke im Zähler und Nenner auf 

 der linken Seite conjugirte algebraische Grössen dar, die sieh also, 

 wie soeben gezeigt worden ist, nur durch Einheiten von einander 

 unterscheiden. Es folgt daher, dass das Product auf der rechten 

 Seite und also auch jeder der Factoren für sich eine ganze algebraische 

 Einheit sein nniss. Jeder dieser Factoren lässt sich in der Form: 



,- 4/A"+ 2l'K'i 

 yK sniam 



und zwar so darstellen, dass der Bruch unter dem Zeichen sin am in 

 der reducirten Form ist, d. h. dass l und /' keinen Divisor von r als 

 gemeinsamen Theiler haben. Setzt man nun voraus, dass auch der 



Bruch ^ ~ in der reducirten Form ist, d. h. dass n und g' 



m 



keinen Divisor von m mit einander gemein haben, so muss offenliar 



tiir jeden Factor auf der rechten Seite der Gleichung (26) der Nenner r 



sowohl den Divisor in als auch irgend einen Divisor von n als Factor 



enthalten. Es muss also /• mindestens zwei verschiedene Primfactoren 



enthalten. Geht man andererseits von irgend einem reducirten Bruche: 



^IK -\- iV K'i 

 r 



aus, bei welchem der Nenner /■ mindestens zwei verschiedene Prim- 

 factoren enthält, so kann dieser stets in der Form: 



\gK -V ig' K'i ^hK -\- ih' K'i 



m n 



dargestellt werden , bei welcher in und n zu einander relativ pi-im sind. 

 Das hiermit erlangte Resultat lässt sich folgendermaassen formuliren: 



I 1 r. ■• ,/- • 4hK+ 2h'K'i ,11 xT 



.lede Grosse j'xsmam . tur welche der JNenner 



II 



des Bruches unter dem Zeichen sin am (in der reducirten 



Form) mehr als eine einzige Primzahl enthält, ist eine ganze 



algeltraische dem Bereiche (p) entstammende Einheit. 



Da ferner der a])solute Werth des von x unabhängigen CUiedes 



in F„(x) gleich dem absoluten Werthe des Products: 



4hK+ 2h' K'i 



n\ X. sin am 



n 



ist, w^enn darin die !\Iultiplication auf alle diejenigen Werthsysteme 

 /(.//' = o . I ,...// — 1 erstreckt wird, bei denen // unil h' nicht einen 



