M8 Gesammtsitziinjj vom 29. Juli. 



Divisor von n als gemeinsampii Tlioiler lial)en, tiir welche also der 

 Bruch unter flem Zeichen sin am in der reducirten Form ist, so folgt, 



dass F,Xo) = +. I sein muss, wenn die Zahl « mehr als eine 



einzige Primzahl enthält. 

 Es soll nun andererseits gezeigt werden, dass wenn « die Potenz einer 



einzigen Primzahl p ist, r„(o) = Jzp und also ) x sinani 



nicht algel)raische Einheit ist. 



Difl'erentiirt man nämlich die Multipllcationsturmcl (4) des ij. 1 



nach X und setzt dann x=o, so ergiel)t sich (—1)' n als Werth 



des Coefficienten ip,,^. Es ist daher: 



,- All K -\- -ih' K' i vT*"-'' 



(27) II [/x sin am = (— 1)^ n , 



(A , A' = o, I , . . . n — I , ausser A = A' = o) 

 und da im §. 2 : 



X"' + 'X(pnr^-'"*" = *„(X) ()=0,l,2,... ^ (»= — 3)) 



gesetzt worden und ferner gemäss der (ileichung (15) am Schlüsse 

 desseUien Paragraphen : 



<i>„(x)=^nF,(x) 



ist, wenn die Multi[ilication auf alle Divisoren d von n erstreckt wird, 



.so ergielit sich, da.ss (— i)" n, als Werth von </)„^. zugleich der 



Werth des nach x genommenen Dift'ereutiahiuotienten von T\F,,(x) für 

 J-— o ist. Der Factor F,(x) dieses Products ist x seilest : der Diflerential- 

 ([uotient von njPrf(a;) reducirt sicli also furx=o auf das Product der- 

 jenigen Factoren, >)ei denen d'>i ist, und es ergieht sich daher die 

 Gleichung : 



(28) nF,(o)= + «, 



wenn die Midtijdication auf alle von Eins verschiedenen Divisoren der 

 Zahl n erstreckt wird. 



Ist n gleich einer Primzahl />. so ist daher i^,(o) = ± ;?• Ist 

 ferner n =^ p^ , so kommt : 



^„(o)i'>(o)= +/r, 



und es muss also, da i^(o) = +. p ist, auch Fj^{o) = ^ p sein. p]l)enso 

 folgt, dass allgemein: 



(29) F,Xo) = ^P 



und also: 



,- 4hK+ 2h'K'i 



(30) n yx. .sin am = +. p 



