Kronecker: Zur Tlieorie der elliptischen Functionen. / 1 .) 



sein imiss, wenn ii eine Potenz der Primzahl p ist und die Multi- 

 jilieation nur auf alle diejenigen Wertlisysteme: 



Ä, A' = o, 1, . . . ?i — I 

 erstreekt wird, liei denen nicht beide Zahlen h un<l h' durch p 

 theilbar sind. 



Ist n =p"iP"^p"i' ■ • • , wo Pi,p2,p -i-. ■ ■ • unter einander ver.sehie- 

 dene Primzahlen bedeuten, so ist gemäss der Gleichung (28): 



UFM = ^p^r^p^ 



d 



Nun haben aber, wie die Gleichung (29) zeigt, alle diejenigen f/, Factoren 

 links den Wertli +. p^ , bei denen d die Werthe p^,p1, . . .p"' hat; ebenso 

 haben alle diejenigen Oj Factoren den Werth Jbp,, bei denen d die 

 Werthe p,,p\, . . ./)? hat u. s. f. Es wird also schon: 



uFAo)= +p'',^P":'f^.--, 



wenn die Mtütiplication links mu- auf alle diejenigen Divisoren von 

 // erstreckt wird, welche Primzahlpotenzen sind. Für jeden anderen 

 Divisor d uiuss daher F,,{o) — + i sein, und es ergiebt sich also 

 hier nochmals das schon oben abgeleitete Resultat, dass F„(o)= +_ i 

 ist, wenn h mehr als eine ehizige Primzahl enthält. 



§. 6. 



Da sin am (v + 2 Ä') = - sin am v und also : 



sin am {K -\- r) = sin am (A'— v) = sincoam v 

 ist, so geht die Gleichung (5) des §. 2, wenn darin u = K und dem- 



gemäss Z = J/jc sinam ?m = {— i)- /x gesetzt wird, in folgende 

 über : 



(31) x"" 4- ^ </>„r^"' "*" - ( 1 + ^ 'PuX' ^ "■ ^ ' ) l/;c = o 



(r=:0,.,2,...i-(«^-3)) 



mit den /<° Wurzeln: 



.- AhK-\- 2k' K'i 



yx, sincoam (A,a' = o,i,2,. . ."— i). 



n 



Eine dieser Wurzeln, nämlich diejenige, für welche A = /;' = o ist, 



hat den Werth \/x, und je zwei von den übrigen: 



, A/iK+2h'K'i ,- . —4kK—2h'K'i 

 l X sin coam , V ^ •"'iii coam 



n n 



sind einander gleich. Es muss also eine Gleichung bestehen: 



