720 Gesammtsitzung vom '29. Juli. 



(32) ^"' + :s; <{>„r .r^+' - 1 1 + 5 <p,^r x"'-''-') l'x = (j; - 1/x) r (a;, l'x) , 



(r = o,.,2,...j(n'-3)) 



in welcher ^(x,]/x) ein ganze Function von x vom Grade ~{n^ ~ i) 

 bedeutet. Der erste Coefficient, d. h. der Coefficient der höchsten 

 Potenz von x in 'i(x,y'x), ist offenbar = ± i und kann also gleich 

 + 1 angenommen werden; der letzte Coefficient, d.h. ^(o, j/x), hat 

 ebenfalls den Werth +l i . da i'ür ^ = o der Ausdruck auf der linken 

 Seite der Gleichung (32) gleich - ]/x wird. Es ist ferner: 



,- / , 4/iK+2h'K'{\ 



(33) J'(a;,|/x) = n I a:— |/x sincoam I 



A.h'\ n J 



(A =:o, l, . . . n — i: Ä' =: 1, 2, . . . — (n — l) und A' ;=o, A:= 1, 2, . . . — (n — 1)) 



und also: 



.- 4/1 K+ 2/1'K'i 

 (■xa) n ]'x sincoam = ± i, 



wenn die Multi]ilication auf die angegebenen y (/r — i ) Werthsysteme 

 von h,h' erstreckt wird. 



, 4hK+ 2h'K'i . , 

 Die (>i^ — i) verschiedenen Grössen )' x suicoam smd, 



■ n 



als Wurzeln der Gleichung (31). sämmtlich ganze algebraische dem 

 Bei'eiche (p) entstammende Grössen, da erstens der Coefficient der 

 höchsten Potenz von x in der bezeichneten Gleichung gleich Eins 

 ist. da zweitens die Coefficienten f„, ganze rationale Grössen des Be- 

 reichs (f) sind, und da endlich ]^x als Wurzel der Gleichung: 



(l/xV-pO/xr + i = o 



eine ganze algebraische dem Bereiche (p) entstannnende Grösse ist. 



Die Coefficienten der verschiedenen Potenzen von x in '^{x,\'y^ sind 

 hiernach ebenfalls ganze algebraische dem Bereiche (p) entstammende 

 Grössen; sie sind aber zugleich rational in ]/x, denn die Coefficienten 

 von '•^-{x) haben offenbar diese Eigenschaft und also auch die Coeffi- 

 cienten der Derivirten: 'F(x) '^'{x)\ die Function l'(.r) selbst ist aber der 

 grösste gemeinschaftliche Theiler von *'(x) und ^(x) *^'(-^) > und die 

 Coefficienten von '^{x) gehören daher demselben Rationalitätsbereich 

 an wie die von 'i'{x). 



Da die Coefficienten von ^(a:,)/x), wie sich gezeigt hat, ganze 

 algebraische Grössen des Gattimg-sbereichs (o,V^) sind, und da ferner 

 der Coefficient der höchsten Potenz von x ebenso wie der von x 

 unabhängige Term den absoluten Werth Eins hat, 



