Kbünecker: Zur Tliporie der elliptischen Functionen. ( oo 



/nodiilo n bilden. Denn alle diese Grössen sind ja mittels der Multi- 

 plicationsformel (4) als rationale Functionen von p und: 



,- . 4hK+2h'K'i , TT, M + ''«' 

 )/x sin am oder EI f 



darstellbar, wenn man die Zahlen r ung'rade wäldt. Dass aber je 



zwei (rrössen: 



," . 4/1K + 2/1' K'i ^.(h + h'w 



yx, sin am oder KI I , tv 



n \ n 



b(>i denen die Verhältnisse h : h' untereinander verschieden sind, auch 

 wirklieh verschiedenen Gattungen angehören, lässt sich in folgender 



Weise darthun. Gehörte Ell , ?r | zu der.selben Gattung wie 



\ n ) 



Ell - , ?r j . bestände also eine Gleichung: 



K,('l±^>,„.)..(K,(i,.),E>(^,„. 



in welcluM- '{'(.r,//) eine rationale Function von .f und // 1)edeutet. so 

 würde daraus mittels der Translbrmationstbrmel (23") des §. 4 eine 

 zweite Gleichung: 



El 0"^' (. - 7"'') , rÄ = * (ei (^^ , w') , El (^ (. - yw) , u/)) 



folgen. Da nun : 



(//, + //' Hl) {oc — 7»'') = (flt// — ß/i') — (yh — ^h') 10' 



ist, so würde, wenn ot ^ i, 7 ^ o , <^^ 1 (mod. /?) genommen, ^ aber 

 beliebig gelassen und dann Avieder w statt ic' gesetzt wird:- 



sein. Dies ist al)er unmöglich, da sonst für beliebige Zahlen !o: 



.,. //' + /«'«' \ ,,. (h + h'w — /3A' 



EI , ?ü = El , 10 



\ n ) \ n 



sein müsste. 



Rezeichnet man die verschiedenen Zahlen r mit /", , i\ . )\. . . und 



das Product: 



nf ,~ . 4hrK-\- ih'rK'iX 

 \x — \y, sin am | {r = r , r, , . . .) 



.V n J ■ ■ 



mit J\,/,{x). so ist ofl'enbar: 



wenn /// zu n relativ prim ist. Wird nun in dem Producte: 



n(-~-./-M.(^r)) 



