Kronf.cker: Zur Tlieorie der oUiptisclien Functionen. 745 



(ilficliung {/i + i)ten Grades ist, in welcher, wenn der Coefficient 

 der li()clisten Potenz gleich Eins genommen wird, alle anderen Coef- 

 ficieiiten ganze ganzzahlige Fvnictionen von p und ]k sind. Dem- 



remäss ist 



I 



1 — j in dem Gattungsbereich (p , ]/k) eine ganze 



algebraische Grösse der (m + i)ten Ordnung. 



Die Coefficienten der Gleichung {ii + i)ten Grades, welcher das 

 I 



Quadrat von I - ) • ivl«o 1/ — , genügt , sind rationale Functionen 



von p und x. Dieses geht schon aus den Entwickeluugen im §. 6 



hervor, wonach 1/ — , wenn zur Abkürzung l^x sinani = s, ge- 



F X ■ n 



setzt wird, gleich dem Producte: 



n^^ o=,,.,...i(«-,)), 



also eine rationale Function von x , ,s, , .?., , . . . mid zwar in Beziehung 

 nuf" die (irössen s cyklisch ist. Gemäss §. 12 ist daher 1/ — rationale 



Function einer Grösse der (^attung ( p , /^ 1/ — ) . deren Coefficienten 



1 '^ 

 rationale tunctionen von x sind. Die Grösse!/ — selbst gehört hiernach 



dem (iattungsbereiche I p , x , |U 1/ — 1 an imd sogar der Gattung selbst, 



V '''■/_ 



1 /a 



ila s(_)nst zwei conjugirte (irössen 1/ — , also zwei der Grössen : 

 Kl f ' . ,n\ . El {' . ""l . El fl , "^±1] , . . . e/' io + n~r 



4 J \4 " 



einander gleich sein niüsstcn. Dies tritt aber nur (ür bestimmte 

 singulare Werthe von ir ein. 



Da ijL I - und I innerhalb des Bereichs (p , x) einer vmd 



dersell)en (Jattung angehören, so gehört auch fj. derselben Gattung 

 an. Die (ir()ssen ju tmd I sind also gegenseitig durch einander 



rational ausdrückbar, und zwar so, tlass die Coefficienten rationale 

 Functionen von und x d. h. also rationale Functionen von x selbst 



