Kronkcker: Zur Tliemie der olliplischen Functionen. 74J 



n(' 



n 2r K 

 X — yx, sin am ) (r = o, i ,...« — i) 



sie 



sind sämmtlich Grössen des Gattungsbereiclis 1 p , |U 1/ — | , mid 



- "^ K 



sind onVnli.-ir dnrrh l/x sin aiii — tlieilhar. Nacli dem. was so ehon 



n 



bewiesen worden, sind sie also aneli sämmtlich dnrch die ()i i)te 



Potenz von j/;« sin am — oder, was dasselbe ist, durch \x tlieil})ar. 

 n 



Eben dieses Produet bildet den Zähler auf der rechten Seite der 



Transformationsgleichuni»- (34) des §. 12. welche so dargestellt werden 



kann : 



,- 2rK 

 , X — y X, sm am 



JL (ft I) _ Yi 



(54*) {^0^ )/Asinam(^»,A) = n Z ^^T^; 



I — X }'x, sin am 



n 



(x = V K sin am (",><); r = o, i , . . . n — i ) 



das vorstehende Resultat kann daher in folgender Weise formulirt 

 werden : 



Die gebrochene rationale Function von )/jcsinam{;/ . x), durch 



Avelche die transforinirte elliptische Function 

 I 



v'"-'' /- 

 ( — I ) - ]/ A sin am {jxv , A) 



ausgedrückt wird, hat in ilirer reducirten Form als Zähler 

 eine ganze Function von l^xsinam(?A , x) vom Grade n und 

 als Nenner eine solche vom Grade « — i. Die Coefßcienten 

 des Zählers luid Nenners sind sämmthch ganze algebraische 

 Grössen des Gattungsbereichs (p,x,|u); der Coefficient der 



(h;0 //teil Potenz von )/xsinam(?/ , x) im Zähler, sowie der von 



|/xsinam{i<, x) unabhängige Term im Nenner, halx'ii ili'ii 

 absoluten Werth Eins; alle übrigen Coefficienten sind 

 durch den Multiplicator fx theilbar, und der Coeffi- 

 cient von j/xsinam (?<, x) im Zähler, sowie der damit 

 identische Coefficient der (« — i)ten Potenz von 

 l/xsinani (w , x) im Nenner, sind mit dem Multipli- 

 cator IX selbst absolut ae(piivaleiit. 



Es bestellt daher die für die Transformation der elliptischen Functionen 



fundamentale Congruenz : 



('">4) ("0' )'Ä sinam(^» , A) i_^ (l'xsinam(» , x)Y' (mod. f-i) 

 in dem Simie. 



