750 Gesammtsitzung vom 29. Juli. 



(lass die Diffei'enz der auf beiden Seiten stehenden Grössen 

 dividirt durcli ß, nämlich: 



— )(■- 0' j/Äsinam(|U?/ , A) -- ()/'';« sin am (i/ , x))" > 



eine ganze alge])raischo dem Rationalitätsbereiehe 

 (yx sinam(|U2/ , A) , p) 



entstammende (Trn.sse ist. 



Die t4ültigkeit der ('ongrnenz (64) ist ebenso wie die Gültigkeit 

 des vorher Ibrmidirten Residtats (63) inn* an die Bedingmig geknü]if't. 

 dass die Zahl «. welche die Ordnung der Transformation bezeichnet, 

 eine ungrade Primzahl sei. 



Eben diese Congvuenz {64) iiildct dm Ilaupt/.ieljumkt der vor- 

 stehenden Entwickehingen; sie ist für die Tliei)ri(> der Transformation 

 der elliptischen Functionen, sowie für alle arithmetischen Anwendungen 

 dieser Theorie von clienso fundamentaler Bedeutung, wie es die ana- 

 logen, schon aus den EuLERSchen Entwickclungen hervorgehenden 

 Congruenzen : ' 



-' (n-l) '(n-l) 



(— !)■ sin WM^(sin?/)" , ( i)- tg w/ e:: (tg ») " (mod. ») 



flir die Theorie der Multiplication der Kreisfunct innen und deren 

 arithmeti.sche Anwendungen sind. 



Die Analogie zwischen diesen Congruenzen und jener ('ongrnenz 

 (64) tritt noch deutlicher hervor, wenn man die letztere in folgender 

 Weise darst(dlt: 



(63) ( — 1)- l'Asinam (w" . A) " (l/xsinam (// , x)) "" (mod. f^i), 



und wemi man dabei bemerkt, da.ss der Multiplicator des Arguments 

 II, welcher hier ebenso wie bei den Kreislunctioneji zugleich den 

 Modul der Congraenzen bildet, auch in beiden Fällen als Primtheiler 

 seiner Gattung zu charakterisiren ist. 



In der vollkonnnenen Analogie, welche die hier dargelegten Eigen- 

 schaften der Formeln füir die Transfbnnation der elliptischen Functionen 

 mit denjenigen der Formeln für die Multiplication der Kreisfunctionen 

 darbietet, bewährt sich olienbar die jAC0Bi"sche Bezeichnmig der ellip- 

 tischen Functionen. Auch zeigt sich, dass Jacobi mit Recht von vorn- 

 herein bei seinen Untersuclmngen über die elliptischen Functionen die 

 Probleme der Multiplication und Transformation unter einen und den- 



' Vei-gl. Cap. XIV in Euler's Introductio in analysin infinitonim. 



