Kronkcker: Zur Theiirie der elliptisolien Functiunen. 751 



solhen (Josic'lits|miikt /.u.sniiiiiu>iifas.st(\' und für den hewundenisAvürdigen 

 Scli;irn)lick. welchen Jmohi (lal)ei bewies, giel)t jene Congruenz: 



(— !)■ \/Xs'miim{fj.u , a)^^ (]/•/. am sm{u , x)y (mod.|u) 



ein nenes. glänzendes Zeugniss. 



Man kann luin, inj Verfolg der leitenden Ideen von Jacobi, bei der 

 Frage der Multijilication der elliptischen Functionen von dem Modul 

 gänzlich absehen und es als eine »Multiplication der elli})tisclien 

 Functionen« hn uwiteren Sinne des Wortes auflassen, 



wenn die ellijstische Function sin am für das m fache eines 

 beliebigen Arguments ti rational durcli sin am ii ausdrückbar 

 ist, gleichviel ob sin am n\u denselben oder irgend einen 

 anderen Modvü hat als sin am u. 

 Es ist dann also nur erforderlich, dass für jeden beliebigen Modid x. 

 Grössen t , m existiren , für welche 



)' f sinam(m«/ , f) rational durch ]/ x. sinam. {u , x.) 



ausdrückbar ist. Setzt man: 



U^^K^. 3^=.—, ^^^^, 



wo .U und Ä' die den Integralen K vmd K' analogen Grössen für den 

 Mo(hd f bedeuten, und: 



so muss nach §.4 (21): 



El ( «, , >>•"' ) rational durch El {^ , w) 



ausdrückbar sein; es müssen also. daKl(<'4- i,tr) = ¥A(^-\-ii\w) = El(^, ?r)' 

 ist, die (deichungen bestellen: 



und hieraus folgt endlich, dass ganz(> Zahlen oi, ,/3, 7, (^ existiren müssen, 

 wofiir: 



mÄMi „ mA' - 



wird. Alsdann ist: 



ci'm + ß 



w = j-. 



7h) + «J 



' Jacobi's Fnndamenta §. 2. 



* Vergl. die I'onncl (22 *) im §. 4. 



