Kronecker: Zur Theorie der elliptischen Functionen. ^53 



tiir den Fall, dass die Varialilo ^ sich von der Variablen *) nur durch 

 einen constanten Factor unterscheidet. Aber man kann sogar zeigen', 

 dass auch die allgemeinere Forderung »es sollen zwischen zwei 

 elliptischen Functionen El (^, r) imd El (*), mi) und zugleich 

 zwischen deren variabeln Argumenten ^ und v) algebraische 

 Relationen l)estehen«< einzig und allein durch die Transfor- 

 mation erfüllt wird. 

 Setzt man nämlich zur Abkürzung: 



X = El(^, r), 1/ = El (Yi,w) 



imd nimmt nun an, dass zwei Gleichungen: 



F{x.y) = o, ^(^,v],x) = o 



l)('stclien. in welchen F{x.i/) eine ganze rationale Function von .r 

 und // liedeutet, *(^,>],j') aber eine ganze rationale Function von 

 £,•/!. deren Coefficienten algebraische Functionen von x sind, so erhält 

 man diu'ch Differentiation von ^{^, vi, x) nach x eine fernere Relation : 



^(^,V),^) = o, 



in welclier *(^.*),a-) ebenfalls eine ganze rationale Function von ^, ») 

 ist. deren Coefticienten algebraische Functionen von x sind. Denn, 

 wenn man die partiellen Ableitungen von $ nach ^,yi,x beziehungs- 

 weise mit <I>, . <i>, , 4>, bezeichnet, so kann man: 



ax nx 



dr dv\ 

 nehmen und dabei die Dift'erentiahiuotienten -^ , -— durch die alge- 



dx dx 



braisclieii Functionen von J" ersetzen, welche sich aus der Differentiation 



der (ileichungen x = P]l(i; . r) , y = El(vi . ir) . F{x , y) = o ergeben. 



Die Resultante der Elimination von v) aus den Gleichungen 



^(r.Y,.x)=^o. t (^ . v] , .r) = o würde, wenn sie nicht identisch Null 



wäre, die Vnrialile ? als algebraische Function von .r bestimmen. 



Die Resultniite nuiss daher identisch verscliwinden, und es müssen 



demi^'eniäss: 



<l'(i;. l). x) und M(l. l). .(•), 



als ganze Funclionen dcf lieiden uiiliestiinmten Varialieln g und 1% 

 einen gemeinsamen Theiler haben. Es kann aber vorausgesetzt werden, 

 da.ss «l» (i; . 11 , J-) keine ganze Function von i; und U als Factor enthäll, 



' Vei-f;!- AiiKi."s ■■I'n''cis (l'unc lliroi-ie di's londions elliptiiiiies.. (Nr. XX\'in des 

 ersten Bandes der gesaiiniiellen Werke in der .Xusjiabe von i88i). sowie sein "Memoire 

 sur les fonetions transeendantes de la forme /y rf.c , oi'i »/ est une fonction atgebri(iue 

 de .i- (Nr. XVII des zweiten Bandes in derselben .\usj;alie). 



Sil/.uiigsberitlite Ibtili. ~-t 



