Kronecker: Zur Theorie fler elliprisehen Kiinctionen. / 55 



hostclioii inüssto, welclio ;i])('r yi als algpT)raischo Function von x 

 (Icriiiircii würde. 



Füi' den allein übri^' M(>ilieii(len Fall s := i kommt nun: 

 d\l/ dvi . d^ d-ypi 



dx ' dx dx dx 



also : 



■^ = const. und )upYi + -^/^ + -^z, = const. . 



und ('S zeiiit sich also, 



dass ^(^,v\,x) eine lineare Function von ^ und v\ sein 

 muss, in welcher die Coefficienten von ^ und y\ constant 

 sind. 

 Die (ileicliunii- <t>(^. »j, x) = o uuiss daher eine lineare Function >)— «r^, 

 in weicherer eine ('onstante bedeutet, als algebraische Function von >r 

 definiren: diese Fimction muss sich aber auf eine Constante reduciren. 

 da ? und *i Integrale erster Gattung sind und also v\ — u^ für alle 

 durch die (irleichung F{x , y) = o mit einander verlnindenen Werthe 

 \(>n .1' und y endliche Werthe annimmt. 



Die Gleichung 4> (^ , *) , a;) = o kann hiernach nur von der 

 Form sein: 



v\ = a- ^ + T, 



wo (7 und T von x unabhängig sind. Setzt man nun in der Gleichung: 



F(E1 (^ :r) . El (0-^ + T, w)) = o 



^ + iiir + n an die .Stelle von c, • so T)leil>t. wenn m und // ganze 

 Zabh'n sind, der Werth von EI(?. r) ungeändert, und es kann daher: 



El (0"^ 4- <j>iiD + cr/i + T , ni) 

 nur <inc duicli die Function F bestimmte endliche Anzahl verschie- 

 dener \Vertli(> aiuichmen, wenn man nach einander für m und n 

 beliebig \iele Nci'schiedene ganze Zahlen setzt. Hieraus folgt, dass 

 es ganze Zahlen /// . // ,/",•'< geben muss, wofür: 



El (cr| + (Jim- + T , /r) = F^l ii'^ + er {m + s) r + r ■ "') 



F-1 (<7^ + (T/i + r . ir) = VA (ö-^ + (7 [n + r) + t , «■) 



wird, und dass daliej- ganze Zahlen r/, /y. r. r/ existiren müssen, wofür: 



(TSV = fiir + /) , er/' r= nr + d . 

 also: 



r (aw + l>) f'tf + d od — he 



s (nr -j- d] r ar - es?- 



ist. Nun liestciit aber in der Tliat , \vi(> aus der Tlieorie dei- Trans- 

 formation iici-vorgclit . zwisclicn den Iieidcn Function(Mi: 

 El (I , r) und El (cr'^ , w) 



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