756 Gesaminfsitziina; vniu "29. Juli. 



eine algehraisclie Relation, wenn (J , c . ir (lurcli die angesehenen 

 Gleichungen mit einander verhunden sind; vermöge des Additions- 

 theorems hesteht daher auch für eine beliebige von .r unal)hängige 

 Grösse r eme algebraische Relation zwischen: 



El (^ , ;■) und El ((y^ + r , ir) 



Das hiermit erlangte Res\iltat kann tblgendermaassen fbrmulirt werden : 

 Sollen sowohl zwischen zwei elliptischen Functionen El (^ , r), 

 El (*i , w) als auch zwischen deren variabeln Argumenten ^ , r, 

 algebraische Relationen bestehen, so muss die Relation 

 zwischen ^ und *i linear und von der Form: 



sein. Dabei ist t eine lieliebige von ^ unabhängige (Grösse. 

 während der Zusammenhang zwischen (t , i: , ic durch zwei 

 Gleichungen: 



(TSC = au' -+- /) . <Tr = CK + d 



bestimmt ist, in denen n. />, r, d. r. .< ganze Zahlen 1»^- 

 deuten. 

 Nimmt man speciell i? = w, so ergiebt sich das CoroUar: 



Wenn sowohl zwei elliptische Functionen El (^ , ?/) , Kl (>i . ir) 

 als auch die Argumente r . v\ diurh algebraische Relationen 

 miteinander verbunden sein sollen, so müssen die Gleichungen: 

 Y\ z= (T^ -\- T , (Tsw = mc + l> , <Tr =^ cw -\- d 



bestehen. Es muss also entweder er eine ganze Zahl sein, 

 oder es müssen «• und (7 complexe algebraische, derselljcn 

 Gattung angehörige Zahlen sein. 

 Im letzteren Falle ist ir Wurzel einer (juadratischen Gleichung: 



A + Btc + Cw- = o , 



in welcher A , B , C ganze Zahlen sind und B^ < 4AC ist. Dal)ei 

 ist IC diejenige der beiden Wui-zeln, fxir welche der reelle Theil von ici 

 negativ wird. 



Die Wurzeln solcher quadratischen Gleichungen : A + Btc + Cir = o 

 Itezeichnen oflenbar die einfachsten Rationalitätsbereiche, d. h. die- 

 jenigen der niedrigsten Ordnung, aus welchen überhaupt Werthe 

 von w für die elliptische Function El (<^ , ir) entnommen werden 

 können. 



Die elliptischen Functionen mit solchen besonderen Werthen 

 von w zeichnen sich v(jr allen übrigen dvu'ch ganz besondere Eigen- 

 schaften aus, und ich nenne sie deshalb »singulare elliptische 

 Functionen«. Die Werthe El-(j,tt'), welche ihre Moduln bilden, 



