Kkdnkikkk : Zur Theoiie der elliptisclien Functionen. 757 



siiul clicn jene, welclie ich srlicju in meiner Mittheilung vom Juni i8(j2' 

 als »singulare Moduln« ])ezeiclniet habe. 



Soll zwischen £ und >) eine algebraisehe Relation bestellen und 

 dabei : 



El (^ , r) = El (y, , w) 

 sein, so Iblgt naeli dem obigen Satze, dass vi = cr^ -\- r sein muss. 

 Alsdann nniss ferner: 



El (£ , c) = El (^ + I , P) = El (0-^ + 0- + T . w) = El (o-^ + T . w) 

 El (^ , r) = El (^ + P , v) = El ((7^ + <Tr + r , w) = El {^^ + r . tv) 



sein, und es müssen daher ganze Zahlen a, b. r, d existiren, für 

 welche : 



(TV ^ cm + /) . (7 ^ (■ip 4- d 

 wird. Vertauscht man gleichzeitig ? mit vi. r mit w und er mit 



- , so folgt in dersel1)en Weise, dass Gleichungen: 



<T 



— lü = (t'p + // . — = c'p + d' 



(T (T 



bestehen müssen, in welchen o' . h\ c' , d' ganze Zahlen sind. 

 Hiernach muss: 



a'v -\- h' dp — I) 



w = — — -— , = ; — , (rw + d) (r p + d) = \ 



(■ p + d — cv + a 



sein; es muss also eine ganze Zahl / geben, wofür: 



n' ^ dt , />' = — ht , (■' z^ — ci , d' =^ at , 



und zugleich: 



{cip + rl) (a — cp) t = I 



ist. Der Ausdruck auf der liidvcn Seite dieser Gleichung ist aber 

 gleich: (nd — J)<)t: sowohl t als ad — hc muss daher den absoluten 

 W'erth Eins haben, luid ad — br nuiss positiv sein, damit der reelle 

 Tiieil \'on /■/ und der von iri gleichzeitig negativ sei. 

 Statuirt man zwischen ^ . vi die Relation: 



^{^,{o,2P)y = ^(^^{o,2iv)y, 



und setzt man zur Abkürzung: 



so wird gemäss der Definition der Function El im §. 4 (21): 

 EU;^ , /•) . sin am (?/, Er-(^ , r)) = El(^ , p) , 

 El {j , w) . sin am (w , EP (^ , w)) = El (»i , w) , 



' Monatslierii'lil vom Jiiiii 1862. 



