I h4 Gesaniiiitsitziin!; vom 29. Juli. 



Ks ist daher: 



I xsin;uu(f>iV" • ''-) »iler | xsiiiam{«», x) 



nls «jcbroc'liene rationale Function von ) 7, .sinain(u« . X) so darstollbar. 

 dass der Ziilder vom «ton und der Nonner vom {/i — i)ten Cirade wird. 

 Dabei ist im Zähler der Coeffieient der «ten Potenz von )'Asinam(|UM . A) 

 und im Neimer der davon unaldiänsfisje Term gleieh Eins, und die übrigen 

 Coeffieienten sind ganze algebraisehe. dem Bereiche (p) entstanimentle 

 Grössen. Denkt man sicli nun in diesem Ausdi-ucke die GnKSse: 



]/Äsiuam(a» . Ä) durch die (irösse: ( — i)' M x sinam (» , /c)Y' . 



(M'setzt. welche iiir gemäss jener C'ongruenz ((")4) uiodii/o fx congruent 

 ist. so erhellt, dass | xsinam(y/» . x). im Sinne einer Congruenz ///orA//o|u, 

 als gebrochene rationale Function von: 



M xsinam(// . x)Y' 



darstellbar ist. Nun ist aber | xsiuam(//^/. x) gemäss der (ileichung (4) 

 des vj. I gleich dem Bruche: 



<p^x + <p„,x^ + (p„,x^ + ... + (p„X'~' + X"' 



</>„X '+4)„,x" ^ + ... + <p„^x- + i 



("=ö("=-3)), 



wenn, wie dort: l'x sinam (?/ , x) = a* gesetzt wird. Dieser Bruch 

 selbst muss also im Sinne einer Congnienz vinditlo fx sich auf einen 

 .solchen reduciren . der niir die wten Potenzen von x enthält, d. h. 

 alle diejenigen CoetTKcienten (/>„„ wofiir 2?' -f- 1 nicht diu'ch ;/ theilbar 

 ist. müssen durch ^ theilbar .sein. Diese Coeffieienten (p,„. sind aber 

 ganze (irössen des natürliclien Rationalitätsbereichs (p): sie mü.ssen 

 also, wenn sie durch den mit ix bezeichneten algebraischen Divisor 

 von )i theilliar sind, auch durch // selbst theilbar sein. Dieses Resultat 

 kann in folgender Weise fonnulirt werden: 



In der rationalen Function von )/xsinam?/. durch welche 

 (67) j'xsinam«?/ ausgedrückt wird, sind alle diejenigen Coeffi- 



eienten dm'ch // theilbar. bei denen der Exponent von 

 ) xsinam?/ die Primzahl ti nicht als Divisor enthält. 

 In der tdeichung vom Grade ;r: 



nf , 4hK+ 2h'K'i\ 

 I x — ) X shiam I = o (/i,/t'=:o,i, ...n — i) 



HJ.- V « / 



oder : 



sind (hiher die Coeffieienten aller derjenigen Potenzen von x diu'ch 

 ii theilbar, deren Exponenten nicht ^"ielfache von n sind. 



