Krdnecker: Zur Theorie der elliptischen Functionen. i hf) 



So ist z. R. (li(>s(> (Tleichuiig für y* = 3 : 

 X-' - 6.V- 4- 4/3 -c^ - 3^ = o 

 und tur « = ^ : 



a;-'' — ^ox" +140^«'^ — (i6op- + i2 5)a;'7 4-(64p3 + 368)a''5— (2 4op-+ 3oo)a;'3 

 4- 3 fiopa:' ' — 10 50;^ — 8opx^ 4- ( I öp- 4- 6 2)a;5 — 2 opx'' 4- 5^ ^= o. 



Sotzt man zur Al)kiirzung: 



./ . 4/1K+ 2h'K"l\" (h,h'=o,u...n-i\ 



so ist vermöge der NEWxoN'srlien Formebi für i = i, 2 , . . .-^{if — 1): 



0-, + (/)„,. ö-,_, 4- </>„,„_, ö-,., 4- . . . + <;'„,„_^+2°"i + 2%.„_,+, = o. 

 Aus dieser (Tleieluuig ist zu erscliliessen, dass o", durch n theilbar ist, 

 wenn alle diejenigen Grössen er, deren Index kleiner als t ist, durch 

 /i theilbar sind. Denn unter der angegebenen Voraussetzung ist: 



0", 4- 2/'(^„ „_,^, ^ o (med. n). 



Da nun nach dem olien entwickelten Resultate (^„ „_(^., ^ o (niod.«) 

 ist. sobald nicht die Zahl: 



2(\/~-t + i) + i, d. i. n- 2t 

 ilurcli // theilbar ist. so zeigt sicli, dass für alle VVerthe: 



/ = i,2,3,...^ (n- - 1 ) 

 in der That die Congruenz: 



,-o^ ^f,/ . 4hK+2h'K'i\-' , , 



(<i8) > IK'tsmam ^o (mod.«) (A, A' = o,i,...n — i) 



r7 V « / 



liesteht. Diese Congruenz liestelit aber auch für alle grösseren Zahlen /; 

 denn für alle diese Zahlen f gilt die Relation: 



0-, 4- f^,..cr,_, 4- '^,„_,o-,_3 4- ■ • • 4- <^„,ö-,_„ 4- </>„oö"/ 1 = o , 



aus welcher unmittelbar hervorgeht, dass 0", ^ o (mod. «) ist, wenn 

 ö',_| , (T,_2 .... durch n. theill)ar sind. 



§. 18. 



Am Schlüsse des §.8 ist gezeigt worden, dass: 



, , \lniiK -\- 2h' mK'i 



y y. suiam 



II 



mulli|)licirt mit einer gewissen Potenz von i()(p^'-4) sich als ganze 



, ,. ,. . .\liK-\- 2h' K' i ^ , ,, , 

 ganzzalilige riuiction von |xsniani und p darstellen lässt. 



