Kronkcker: Zur Theorie der elliptischen Functionen. ibi 



Kntwirkplt man das Product: 



(C - IJ.T) (C — !J.„tJ (C — f^.T,) ... (Z ^l„_,T„_,) 



nach Potenzen von c nnd bezeichnet die dabei resultirende ganze 

 Function von ~ mit 7'(~) und setzt: 



T(z) = e„ - 9, c + e, ^^ - . . . - e„ z" + 2"+' , 



so 1)estelien die Congruenzen: 



(70) 9„ ^ o , 9„_, ^ o , ... Öj ^ o und Oq ^^ o (mod. u) . 



Denn, wenn man in der Congruenz (69) die Grösse |u"'~'t"' an Stelle 

 von T setzt, so zeigt sieli, dass alle Potenzsummen der Wurzeln der 

 (ileiclumg T{:) = o dureli // tlieill)ar sind, imd die Congruenzen (70) 

 ergeben sieh also mit Hülfe der NEWTON'schen Formeln. 

 Nimmt man nun r =; i , so ist nach §. 14 und §.15: 

 ^o = " . 9, = Mof^i • • • H-n-i = 1^' (mod. fj.) , 

 imd da nach i;. 15 die Grösse pi' ein algebraischer Primdivisor und 

 von u verschieden ist, so kann 9, nicht durch ix und also nicht 

 dm'ch n theilbar sein. In diesem Falle sind also alle Coefficienten 9, 

 mit Ausnahme von 9,, diu'ch n theiUiar. Es wird also: 

 T{z) = z{^-(^,), r(.i=^»-e, (mod.«), 

 » = H>i|w', |i>i' = 9, ~~ 1 f.x + . . . + 9„ u"~' — |u" ; 



die Primzahl n ist also Theiler der Discriminante von T(:) und 

 dennoch als Product zweier von einander verschiedener algebraischer 

 Primdivisoren des Gattiuigsbereichs (p , >c , |u) darstellbar. Dies bildet 

 einen Ausnahmefall für jenen Satz, dass bei der Darstellung eines 

 Factors der Discriminante als Product irreductibler algebraischer 

 Divisoren wenigstens einer derselben mehrfach vorkommt.' 



Um dies näher darzulegen knüpfe ich an die P^ntwickelungen 

 im §.25 meiner citirten Festschrift an, welche die Begründung jenes 

 Satzes enthalten. Es sei also, wie dort, -F(5K) = o die Fundameutal- 

 gleichung der durch ® bezeichneten Gattung und T eine irreductiV)le 

 ganze (Jrösse des Rationalitätsbereichs (JR', Di", SR'", . . .). Es sei ferner: 



i'TJi):_-/,(9?y"/3W^---(mod.P). 



wo /', (^K) . /!,(üH) . ... als irreductibel. im Sinne der Congruenz inodido P. 

 vorausgesetzt werden, ist nun einer der Exponenten », ,»,,... grösser 

 als Eins, so haben olVenhar F{^] und F' i^) einen gemeinsamen Theiler 

 iiiofliilo P, wenn Fidi) die nach !IH genommene Ableitung von F{'?R) 

 bedeutet. Sind aber .sänuntliche Exponenten «, , w^ , . . . gleich Eins, 

 -so können /-'(UM) und F'(!K) nur dann einen gemeinsamen Theiler 

 tnodido P hahm . wenn c'wun- der Factoren /(J)^) einen solchen Tlieiler 



' Vergl. §. 18 meiner Festschrift /u Hrn. Klm.mkk's Doclorjiiliiläinn. 



