Kronecker: Zur Theorie der elliptischen Functionen. 769 



.:,o..^') 



S-' (o, 2nw) , "■ / 

 ix = ±. n -^ , fx^ = — ^ ^ (Ä = o , I . 



&3 (O , 2W) S-j (O , 2W) 



direct liprs:elpitet werden. Man sielit nämlieh zuvörderst, dass die 

 Coefticienten von T(') ganze ganzzaldige Functionen von x sind: denn 

 sie .sind, wie oben gezeigt worden, ganze Grössen des Bereiclis (p , x) 



oder I X -I — ,x|, und .sie behalten oftenbar auch für e""''=o, also 

 \ K J 



fiir X =: o , endliche Werthe. Es leuchtet ferner ein, da,ss für jede 



ganze Zalü t die Entwickelung von : 



fx' + /^o+ ij.[ + . . . + |u;,_, 



nach steigenden Potenzen von e""" lauter durcli n theilbare Coefficienten 

 hat. Ist nun der Werth dieser <ten Potenz der n + i Grössen fx gleich : 



0^+ a,)i + a^x.' + . . . + a^x', 



so müssen ersichtlich die ganzzahligen C'oeflicienten n^ , r/, , r/, . . . . r/,. 

 sänimtlich durch die Primzahl n theilbar sein, damit auch hier die 

 Entwickelung nach Potenzen von e""" lauter durch n theilbare Coeffi- 

 cienten habe. 



Aus den Congruenzen: 



t^' + 1^0+ lA + ■ ■ ■ +f^i- , = O (mod. 71) (< = O , I , 2 , . . . n) 



folgt, wie im vorigen Paragraphen, mit Hülfe der NEWxON'schen 

 Formeln, dass die Function T (z) . d. i. : 



(z — jx) (z — ,u„) (z — IX,) . . . (z — ix„_,) , 



sich >/ioriiifo n auf eine Function : 



z"^'^%z 



reduciren nniss. in welcher ß, eine ganze Grösse des Bereichs (x) 

 l)edeutet. Daliei kann ^, nicht durch tt theilbar sein; denn sonst 

 würde eine Gleichung : 



(^o"*"' = /?/'(Un , X) 



bestehen, in welcher /(Uq , x) eine ganze Grö.s.se des Bereichs (fx,, . k) 

 w'Ai-c. Die Entwickelung nach steigenden Potenzen von e"'"' würde 

 also auf der rechten Seite lauter durch )i theilbare Coefficienten ergel)en. 

 wälirend dies auf der linken Seite niclit der Fall ist, da z. B. der 

 erste Coefficient. d. h. der Wertli von u„ für x =: o . oftenbar gleich 

 Eins ist. 



Bezeichnet man jetzt das Product : (z - ix)(z !X^)(z--u,) .. .{z~-ix„_,) 

 als ganze Grösse des Berciclis (c , x) mit: 



Silzuiigsboiichte 1886. 75 



