Kboneckeb: Zur Theorie der elliptischen Functionen. l7\ 



l>ofrir(li£jt. Substituirt man nun in der partiellen Differentialgleichung 

 luv : die eine oder die andere dieser beiden ganzen Fimctionen von x, 

 so ergiebt sieh eine und dieselbe Beziehung zwischen drei aufeinander 

 folgenden Coefficienten B, nämUcli die Gleichung: 



(73) (2//+ I ) (2/, + 2)B,+, + 2/i{n^2/t)pB/, + (n^2/i+i) (11-2/1+ 2)£,_, = 211(0' -4)Bi 



in wrk'her Bj, die nach p genommene Ableitung von B,, bedeutet, 

 und welche fiir die '-(n + i) Werthe: 



h = o , 1 , 2 , . . . ^(n — I ) 



gilt, wenn darin B , und Bt gleich Null gesetzt werden. 



■^ -' -;, ("4-11 '^ * 



Diese (Ueichung genügt ()ffpnl)ar. um — wie sich Jacobi a. a. 0. 

 ausdrückt — die sämmtlichen Coefficienten B zu finden, und sie soll 

 deshall) als »die JAroBTsche Recursionsformel« zvu- Bestimmmig 

 der bei der Transformation der elliptischen Functionen auftretenden 

 Coefficienten bezeichnet werden.' 



Eben tliese JAcOBi'sche Recursionsfonnel ist es lum, aus welcher 

 ich jenes im §.14 entwickelte und dort mit (63) bezeichnete Haupt- 

 resultat zuerst abgeleitet habe, und ich will die dabei benutzte Methode 

 nunmehr auseinandersetzen. 



In den hier im Anschluss an Jacobi gewählten Bezeichnungen 

 kann das abzuleitende Resultat daliin fornuilirt werden, 



n 



dass der Quotient ^. für/t>o, eine ganze algeVjraische, 

 ßB„ 



dem Bereiche (p) entstammende Grösse darstellt; 



dasselbe Resultat kann also einfach diuTh die Congruenz: 



(74) B, = o(mod.B^^^_\ (A= ,,2 ,. ..!(«-.)) 



ausgedi'ückt werden. 



Um diese Congi'uenz zuvörderst für /i = ^(n — 3) zu erweisen, setze 

 icli in der jAcoBi'schen Recursionsformel (73) A = y(« — i). Dabei 

 ergielit sich die Relation: 



2-3-5, +p{n-i)B, =2n{p'- a)B'< ,, 



2 ■ 2 2 



und hieraus folgt mit Benutzung der Gleichung: n^^ixfx die Congruenz : 

 i7 3) 3^^',„_,r=."^''(r-4)5|,„_„(müd.5^,_,,J. 



' Die .lAcoBi'sche ReiMirsion-sformel liefert offenbar auch eine Darslelhing jeder 

 liriis.se Hk als •janze lineare homogene Fiinctinn der ürös.se ßo "nd ihrer suece.-isiven 

 I)itVerentiali|tiotienten: Bo- Hq .. . . Bo , woliei die ("neffieienten gan/.e Kiinctiom'ii von ^ 

 werden. 



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