Kronecker: Zur Tliporie der elli])ti.schen Functionen. < 75 



X = j/jc sin am (n . x) , y= Yx sin am (fj.'U , X) 



y = g'^ a;«-^--- ('• = 0,.,2,...i-(«-.)) 



gesetzt, so ist auch in diesem allgemeinen Falle •rj^,„_, =i. und die 



übrigen Coei'fieienten t sind sämmtlich ganze algebraische, dem Be- 

 reiche (p) entstanunende Grrössen, da sie ganze ganzzahUge Fmictionen 

 der Grössen: 



,- 4/'Ä'+ ih' K' i 



\ X sin am 



n 



sind.' Setzt man nun noch zur Abkürzung: 



XtX-""^' = P, Sr,^"-=^-' = Q , 



:i.(2r + i)t^x-'' = P', Xin — 27- — i)t^x"'-''~- = Q' 



(?■ = , 1 , 2 , . . . ^ (n — I )) , 



SO wird einerseits: 



dy ^ P'Q - PQ' 



dx Q' ' • 



anderei'seits : 



'^y i/^ i/'-,^'+y' _ f^ Af^^/P'-?p 



dx ^ ! X I' 1 — px" + ar* Q' !'' x r \ — px^ + x' ' 

 und es resultirt daher die Gleichung: 



^ (P^ - pP^Q^ + Q*) = ( , _ px^ + xt) (P'Q - PQ'y. 



K 



Setzt man hierin x = o , so zeigt sich . dass — =^ tI ist. Dem- 



K 



nach wird : 



d-px' + xf') (P'Q - PQ'Y = o (mod. T^) . 



und man gelangt somit zu der bemerkenswerthen Congruenz : 



(78) P'Q-PQ'=o (mod.rj. 



Substituirt man in dieser Congruenz für P. P', Q , Q' die obigen Aus- 

 drücke, so kommt: 



S (2/- -f 2S + 2 — n)T,.T,X"'^^''~^'''^ ^O (mod. tJ (r,« = 0,I, .. .^(n — 1)) , 



und endlich, da nach der Formel (27) des §. 4 das Product sämmt- 

 licher Grössen : 



, 4h K+ 2/1' K'i 



y X sin am (A, ä' = o, i. . . . « — 1 ausser A = Ä' = o) 



Vergl. die Fiirinel (54) im §. 12. 



