Kronecker: Zur Tlieorie der pUiptisclien Fiinotionen. 777 



§.22. 



Um die Jacobi'scIic Recursioiisformel (73). nacli Jacobis eiiJ'eiiem 

 Vorgange, aiil' die Multiplicatioii der elliptisclieu Functionen anzu- 

 wenden, hraucht man darin nur: 



/;■' statt // und lerner 5„ ^ Yn , B\^ _ == ??]/?? 



zu setzen. Gemäss der Mnltiplieationstünnel (4) im §. i wii'd dann: 



-B„_,+ , = ^„,ßo (r = o,l ,2,....; . = -L(„=_3))^ 



und diese Relation gilt auch fürr— i^+i, wenn </)„,„+, = 1 genommen 

 wird. Sul)stituirt man diese Wertlie der (loefficienten B in der 

 Formel (73). so geht dieselbe in folgende ül)er: 



(81) (,r - ■ir)()r - 2/-+ i ) (;>„.,_, + {if - 2r— i) (2r+ i)p<^„,. 



+ (2r + 2)(2r + 2>)<Pn,r+i = 2/r(p' - 4,)<p',, , 

 welche für: 



r = o , i , 2 , . . . ^{tr—i) 

 gilt, wenn darin: 



4>„ -,=^ o , (p , =0 



^".-(n^ + i) 



und für alle Werthe von r: 



eh.... 



dp 



gesetzt wird. Da die Grössen (/)„,. und also auch die Grössen <pl^ 

 ganze (i rossen des natürlichen Rationalitätsbereichs (p) sind, so folgt 

 aus der Gleichung (8 1) die Congruenz: 



(82) 2/-(2r— 1)^„ ,._, — (2r+i)-p(^„, + (2?- + 2)(2r + 3)<^„ ,.^., E^o (mod.?r). 



Diese Congruenz vereinfacht sich in formaler Hinsicht, wenn an Stelle 

 der ( 'oefficienten (p„, selbst die Grössen (2 /•+ 0„, eingeführt werden. 

 Setzt man nämlich: 



so geht die (Kongruenz (82) in folgende über: 



(83) 2/-\^„,,_, - (2/-+ i)/3\|/„r-f-(2r + 2)-4/„,,+, = (mod.?i'), 



und diese Formel bietet eine vollkommene Analogie mit einer Recursions- 

 fbrmel dar. welche zwischen drei aufeinander folgenden Kugelfunc- 

 tionen besteht. 



Setzt man nämlich in üblicher Weise: 



=:2P"'(tP)-"' (<• = 0.1,2,... in inf.) 



Vi-pz^ + z 

 und diilerentiirt die identische Gleichunsr 



