778 Gesammtsitzung vom 29. Juli. 



nach z, so kommt: 



"■ v"p(0(±p) (2r^— _ (o;- + 1 ) pc='+' + (or + 2) z''+^) = o , 



r — o 



und hieraus golit unmittell»ar die ReeursioiivSfbnuel : 



(84) 27-P'^-' (;^ p) ^ (2r + 1 ) pP"' (-: p) + (■!?• + 2) P" +" ( :-p) = O 



hervor, welche für /•:= o , i , 2 , . . . in inf. (leltuiiiJ- hat. 



("-11 



Bezeichnet man nun zur Abkürzung ( — i)" mit £ und die 



Difl'ereiiz e^P'"' ( J p) — i|'„r mit A,. . .so wird A^, = o . da </'„o = £" und 

 P""('p)=i i.st. Wegen der Congruenz (83) und der Gleichunsi' (84) 

 hcstelit ferner für die Cxrös-sen A^ die Relation: 



2/'A,._, — (2r 4- i)p\ + (2r + 2) A^^, 2:^ o (mod. ir) 



und zwar schon für den Werth /• ^ o, wenn A^, gleich Null gesetzt 

 wird. Hieraus erschliesst man unmittelliar. da.s.s die (xn'KSsen A^. A, , A, . . . . 

 sämmthch congruent Null sind, so lange der Index nicht mit 11 einen 

 gemeinsamen Theile.r hat. Die C'ont>ruenz: 



{85) 4^„,iEFsnP^''^{jp) oder (2/- 4- 1) (/.„, £//P''*(jp) (mod. w^") 



besteht daher, wenn /i Primzahl ist. für alle Werthe von r, 

 die kleiner als // sind. 



So ist. um ein Beispiel anzuführen, für « =r 5 : 



Sf.., = - 3 • 2op= 5P"'(7P) ^ ; • SP • 



5<^3.,= 5(.6p= + 62)^5P<="(lp)=5.|(^^-|^, 



7,,, = -7.8op^5P-(^p)-5.|(^-f:). 



und die Congruenzen sind liier sämmtlidi motivio 25 zu nelimen. 



Gemäss der Definition der Kugelf unction P^'^^p) als Entwickelmigs- 

 coefficient ist: 



wo: 



[ir — 2Ä) ! 

 ^' ^ h\[r- h) ! (r - 2;^) ! 



ist. Da nun C/, als der C'oefticient von x'' y''~'' :''~-'' in der Entwicke- 

 lung von [x -\- y -\~ z)-''~^'' aufgefasst werden kann, so erhellt, dass 



