FiicHs: Algebraische Gehilcle, welche eine Involution zulassen. 803 



Ist. IX — o oder A = o, d. li. gilt in den Gleichungen (K) für 

 k = 1 , 2 . . . . p überall das obere oder überall das untere Vorzeichen, 

 so knnn ni;in in 



(L ) A (s , ;) = ' !L^ 



G, {s , z) 



i:. . '■. .... '), so bestimmen, dass der Zähler für p — 2 beliebige Stellen, 

 in wi'lclicn (i',(.s-,-) Nidl erster Ordnung wird, gleichfalls von der 

 ersten Ordnung verschwindet, und es wird alsdann der Zähler ausser- 

 dem Null erster Ordnung in denjenigen Stellen, welche zu jenen in- 

 volutorisch gepaart sind , und da diese zu gleicher Zeit die Gleichung 

 ^/, (.s- . c) — o befriedigen, so ergiebt sich wiederum, dass R{s , :) nur 

 in zwei Stellen unendlich erster Ordnung wird. Setzen wir 



{M) R{s,z) = u, 



so lolgt aus 11. : 



III. Es lassen sich .« und c als rationale Functionen 

 von II und | N(w) darstellen, wo S{lt) eine ganze rationale 

 Function von ii . und es sind umgekehrt u und ]/S{u) ratio- 

 nale Functionen von s und z. 



4. 



Es sei jetzt umgekehrt vorausgesetzt, dass die RiEMANN'sche 

 Hache (A) durch eine rationale und eindeutig umkehrbare Substitution 

 ;uif eine zweiblättrige RiEMANN'sche Fläche abgebildet werden könne. 

 .\lsd;inn giebt es bekanntlich eine rationale Function 7?(.t,r), welche 

 nur in zwei Punkten der RiEMANNschen Fläche (A) unendlich gross 

 erster Ordnung wird. 



Setzen wir nlsdann 

 (S) R{.^,z) = n. 



so sind : und .^ nls i-jitionnlc Fnuctionen von ii und )^N(?/) darstellhai-, 

 wo S{ii) eine ganze rationale Function \ on ii , und es sind umgekehrt ii 

 und |^S{?/) rationale Functionen von ^ und c. Ist daher (t.^) ein 

 Pimkt der Riemann'scIicu Fläche (A). I'ür welchen ii den nänüichen 

 Werth wie in (s , z) annimmt, so sind o" und ^ eindeutige und dem- 

 nach rati(jnale Functionen von .*>■ imd c, 



^ = >p(.s,z), 17 = 4^(8,:) 

 von der HeschalVenheit , dass 



