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différentiels de y que dans le dernier terme P,y.  Cette équa- 
lion sera 
dit d.F('m, d" 
PF(m, &x) FEER +(P, F(m,x) + n P = D)EE 
+ P, F(m, xx) zE) — 0. (5) 
da 
Pour Videntité compléte de ces deux équations, (4) et (5), il faut 
et il suffit, que la fonction F(m,æ), qui est facteur du premier 
terme de (5), soit aussi facteur de tous les autres, et que m 
n'entre plus dans (5) aprés la division par F(m, æz).  Cela 
posé on a, entre autres conditions ici passées sous silence, la 
suivante: 
dont Pintégration avec la nouvelle constante arbitraire & donne 
F(m, x) = bar 
La quantité générale m, n'entrant pas dans P, doit faire 
partie de a, dont la nature arbitraire permet de poser 
md 
Mar ugne 
par conséquent 
RICE 
m n 
U— E e (6) 
&. On pourrait certainement sans difficulté trouver les. for- 
mes nécessaires des coefficiens P,, P,..., pour que la propo- 
sée eut des intégrales particulitres seulement de la forme (6); 
mais ces calculs un peu longs, ne donnent pas des réæsultats qui 
en vaillent la peine, d”autant plus qu'il y a un autre chemin trés 
facile å suivre. Dans chaque cas particulier on peut simplement 
faire la substitution (6) dans. ”équation proposée, et si le résultat 
de cette substitution, aprés la division par une fonction de m et 
de æ, est une équation algébrique en m du degré m, les racines 
de cette équation substituées å m dans (6) reproduisent les 
diverses intégrales particuliéres. 
C'est chose træs facile å vérifier, et bien digne d'étre signalée en 
passant, que, parmi toutes les formes élémentaires des fonctions de 
m et de Æ (fonction de æ), savoir 
m + X, må, Xrm, må, log,» X, logx.m, 
